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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 14

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (14) A parábola y = x 2 e y = x ³ .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre y = x 2 e y = x ³ . Assim:

x 2 = x 3 x 3 - x 2 = 0 x ² x - 1 = 0 x = 0 x = 1

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada pelas duas funções.

A = ∫ 0 1 x 2 - x ³ d x = x 3 3 - x 4 4 0 1 A = 1 3 - 1 4 = 1 12

Passo 3

Calculando agora o valor de m x e m y .

m y = ∫ 0 1 x x 2 - x ³ d x = ∫ 0 1 x 3 - x 4 d x m y = x 4 4 - x 5 5 0 1 = 1 4 4 - 1 5 5 m y = 1 20

m x = 1 2 ∫ 0 1 [ ( x 2 ) ² - ( x 3 ) ² ] d x = 1 2 ∫ 0 1 x 4 - x 6 d x m x = 1 2 1 5 x 5 - x 7 7 0 1 = 1 2 1 5 - 1 7 m x = 1 35

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

y - = 1 A * m x = 12 * 1 35 y - = 1 2 35

x - = 1 A m y = 12 * 1 20 x - = 3 5

Resposta

O centróide está localizado no ponto 3 5 , 1 2 35 .

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Encontre o centroide da região delimitada pelas curvas y = x 2 - x e y = x 2 - 1
Represente graficamente a região entre as curvas e use a calculadora para encontrar a área até a quinta casa decimal. y = 2 1 + x 4 y = x 2
Calcule a integral.36. ∫ 0 1 1 + x 2 3 d x
Calcule a integral.37. ∫ 1 e x 2 + x + 1 xd x
Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.16.