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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 45

Encontre o comprimento de arco da curva y = 4 - x 2 3 3 2 acima do intervalo 0,8 .

Passo 1

Primeiro vamos ter uma noção de como é o arco dentro do intervalo 0,8 :

Pronto, temos que a fórmula do comprimento de arco é:

C = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos então calcular f ' x para substituir na integral.

Passo 2

Calculando então a derivada:

f ' x = 4 - x 2 3 3 2 ' = 3 2 4 - x 2 3 3 2 - 1 0 - 2 3 x 2 3 - 1 = 3 2 4 - x 2 3 3 - 2 2 - 2 3 x 2 - 3 3 =

= 4 - x 2 3 1 2 - x - 1 3 = - 4 - x 2 3 1 2 x 1 3

Passo 3

Vamos agora achar a expressão dentro da integral:

1 + f ' x 2 = 1 + - 4 - x 2 3 1 2 x 1 3 2 = 1 + 4 - x 2 3 2 2 x 2 3 = 1 + 4 - x 2 3 1 x 2 3 = 1 + 4 - x 2 3 x 2 3 =

= x 2 3 + 4 - x 2 3 x 2 3 = 4 x 2 3

Agora substituindo para encontrar o comprimento:

C = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 0 8 4 x 2 3 d x = ∫ 0 8 4 x 2 3 d x = ∫ 0 8 2 x 2 3 1 2 d x = ∫ 0 8 2 x 2 3 ⋅ 1 2 d x =

= ∫ 0 8 2 x 1 3 d x = 2 ∫ 0 8 x - 1 3 d x

Passo 4

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ x - 1 3 d x

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ x - 1 3 d x = x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 + C = x - 1 + 3 3 - 1 + 3 3 + C = x 2 3 2 3 + C = x 2 3 2 ⋅ 3 + C = 3 x 2 3 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

2 ∫ 0 8 x - 1 3 d x = 2 3 x 2 3 2 0 8 = 2 3 ⋅ 8 2 3 2 - 3 ⋅ 0 2 3 2 = 2 6 - 0 = 12

Resposta

C = 1 2

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