Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r^2 = sen(2θ)

r^2 = cos(2θ)

Passo 1

Olá, meu querido e amado amigo, vamos resolver juntos mais uma atividade hoje.

Temos em mãos duas curvas:

r 2 = sen ⁡ 2 θ

r 2 = cos ⁡ 2 θ

E queremos saber a área da região que está simultaneamente dentro dessas duas curvas.

A gente tem em mãos uma família de lemniscata, que possui equações do tipo:

r 2 = a cos ⁡ 2 θ

r 2 = a sin ⁡ 2 θ

As que possuem cosseno são posicionadas em simetria com o eixo x para a > 0 com o eixo y com a < 0 . Já as que possuem seno são posicionadas com simetria com o π 4 a > 0 e com 3 π 4 com a < 0 .

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Passo 2

Para isso, basta igualarmos as duas curvas para encontrarmos:

r 2 = sen ⁡ 2 θ = cos ⁡ 2 θ

sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 θ = 1

2 θ = π 4

θ = π 8

Então vamos pensar. Eu sei que a região sombreada não está só no primeiro quadrante, mas por hora, vamos focar só no primeiro quadrante.

Se a gente imaginar uma reta θ = π 8 bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva r 2 = sen ⁡ 2 θ de θ = 0 até θ = π 8 e depois passasse a ser a curva r = cos ⁡ 2 θ , de θ = π 8 até θ = π 2 .

Vê se você consegue visualizar isso:

Acontece que, se aproveitando de que existe uma simetria, a gente pode dividir nossa região sombreada em 2 áreas e cada uma dessas áreas, em 2 partes, bem no meio e só calculamos a área de θ = 0 até θ = π 8 e depois a gente multiplica isso por 2 × 2 , ok?

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização.

Mas agora a gente precisa ficar esperto. Como dividimos nossa curva em 2 × 2 partes e só vamos calcular a integral de θ = 0 até θ = π 8 , temos que nos atentar, como a gente tinha conversado ali em cima, que nesse intervalo a nossa região de interesse é definida apenas pela curva

r 2 = sen ⁡ 2 θ

Assim, esse é o nosso r .

Então agora é só substituir e integrar esse negócio.

Passo 4

Vamos l��:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 8 sen ⁡ 2 θ d θ

Integrando:

A 1 = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ π 8 0

Colocando os limites de integração:

A 1 = - 1 4 cos ⁡ π 4 - cos ⁡ 0

Colocando os valores dos cossenos:

A 1 = - 1 4 2 2 - 1

A 1 = 1 4 1 - 2 2

Assim, a área total da nossa região é

A T = 2 × 2 × A 1 = 1 - 2 2

Resposta

A = 1 - 2 2

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