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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 30

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

30. x = l n ( s e c t + t a n t ) - s e n   t ,   y = c o s t ,   0 ≤ t ≤ π / 3

Passo 1

E aí, pessoal! Vem comigo em mais uma questão!

Nessa questão temos que calcular o comprimento de uma curva e, para isso, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 π / 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, vamos seguir um roteiro bem definido, como uma receita de bolo: calculamos as derivadas, depois a raiz quadrada e depois a integral. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com as derivadas

d x d t = d d t l n ( s e c t + t a n t ) - s e n   t = s e c   t   t a n   t   +   s e c 2   t s e c   t   +   t a n   t - c o s t  

⇒ d x d t = ( s e c   t   +   t a n   t )     s e c t s e c   t   +   t a n   t - c o s t = s e c t - c o s t

⇒ d x d t = s e c t - c o s t

d y d t = d d t ( c o s t ) =   - s e n   t  

Agora a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( s e c t - c o s t ) 2 + s e n 2 t = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - 1 + 1   = s e c   t

onde usamos c o s 2 t + s e n 2 t = 1 e s e c t c o s t = c o s   t /   c o s   t   = 1 .

Passo 3

Por último, vamos calcular a integral

L = ∫ 0 π / 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 π / 3 s e c   t d t

Para resolver a integral, vamos multiplicar e dividir por s e c t + t a n t :

L = ∫ 0 π / 3 s e c t d t s e c   t   +   t a n   t s e c   t   +   t a n   t = ∫ 0 π / 3 s e c 2 t   +   s e c   t   t a n   t s e c   t   +   t a n   t d t

Agora a gente faz a mudança

u = s e c t + t a n t ⇒ d u = s e c 2 t + s e c t   t a n t d t

t = 0 ⇒ u = 1 ,   t = π / 3 ⇒ 2 + 3

Voltando para a integral, ficamos com

L = ∫ 0 π / 3 s e c 2 t   +   s e c   t   t a n   t s e c   t   +   t a n   t d t = ∫ 1 2   +   3 d u u = l n   u   | 1 2   +   3

L = l n   ( 2 + 3 ) - l n 1 = l n ( 2 + 3 ) ≈ 1,317

O que você achou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

L = 1,317

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