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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 24

24. Encontre a área sob y = x 3 sobre [ 0,1 ] utilizando as seguintes parametrizações.

a) x = t 2 ,   y =   t 6 .

b) x = t 3 ,   y =   t 9 .

Passo 1

E aí, pessoal! Bora lá uma questão de cálculo de área.

A questão pede a área sob y = x 3 no intervalo [ 0,1 ] . Isso quer dizer que vamos integrar em y

A = ∫ 0 1 x d y

onde x e y mudam conforme o item.

Passo 2

a) Usando a parametrização x = t 2 ,   y =   t 6 , nós temos d y = 6 t 5 d t . Então,

A = ∫ 0 1 x d y = 6 ∫ 0 1 t 2 ⋅ t 5 d y = 6 ∫ 0 1 t 7 d y

A = 6 t 8 8 | 0 1 = 6 8 = 3 4

Prontinho, agora vamos para próxima

Passo 3

b)Agora vamos usar a parametrização x = t 3 ,   y =   t 9 . Nesse caso, temos d y = 9 t 8 d t

A = ∫ 0 1 x d y = 9 ∫ 0 1 t 3 ⋅ t 8 d y = 9 ∫ 0 1 t 11 d y

A = 9 t 12 12 | 0 1 = 9 12 = 3 4

É isso aí, galera! Missão dada, é missão cumprida. Te vejo na próxima!

Resposta

a)   A = 3 4

b) A = 3 4

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Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 4 + 3 sen ⁡ θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r 2 = s e n 2 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 2s e n 5 θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e nθ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = s e n 4 θ