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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 19

Encontre a área da região dentro de um laço da curva:

r = s e n 4 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar que descreve uma curva:

r = s e n 4 θ

Queremos calcular a área da região dentro de um dos laços dessa curva.

Mas como assim dentro de um dos laços??

A curva tem formato de uma flor com 8 pétalas. E queremos encontrar a área de uma das “pétalas”, conforme mostra a figura abaixo:

Essa figura foi colocada só para a gente enxergar melhor o que queremos calcular.

Como queremos encontrar uma área A de uma curva que é dada em coordenadas polares, temos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os limites de integração!!

A curva passa pela origem quando seu raio é 0 , dessa forma podemos fazer:

s e n 4 θ = 0 ∴

4 θ = sen - 1 ⁡ 0 ∴

4 θ = π n   ∴

θ = π 4 n  

Dessa forma, nossos limites de integração são 0   e π 4 .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de uma curva, lembramos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Substituindo r :

A = 1 2 ∫ 0 π 4 ( sen 2 ⁡ 4 θ ) d θ

Passo 4

Lembrando que:

sen 2 ⁡ θ = 1 2 1 - c o s 2 θ

Temos:

A = 1 4 ∫ 0 π 4 ( 1 - c o s 8 θ ) d θ ∴

A = 1 4 ∫ 0 π 4 d θ - 1 4 ∫ 0 π 4 ( c o s 8 θ ) d θ

A primeira integral é dada por:

1 4 ∫ 0 π 4 d θ = 1 4 π 4 - 0 = π 16

Já na segunda integral, podemos fazer por substituição simples. Seja

u = 8 θ

d u = 8 d θ

Assim podemos reescrever a integral como:

1 4 ∫ c o s u d u 8 = 1 32 s e n u

Voltando para a variável original temos:

1 32 s e n 8 π 2 - s e n 0   = 0

Assim, a área procurada é a subtração dessas 2 integrais, ou seja:

A = 1 16 π

Resposta

A área abaixo da curva é 1 16 π .

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