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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 31

Valor médioSe f é continua, o valor médio da coordenada polar r sobre a curva r = f θ ,   α ≤ θ ≤ β , com relação a θ é dado pela formula:

r m = 1 β - α ∫ α β f θ d θ

Utilize essa formula para encontrar o valor médio de r com relação a θ sobre as curvas a seguir ( a > 0 ) .

  1. A cardioide r = a ( 1 - cos ⁡ θ ) .
  2. O circulo r = a .
  3. O circulo r = acos ⁡ θ , - π / 2 ≤ θ ≤ π \ 2 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do valor médio que ele deu no enunciado:

r m = 1 β - α ∫ α β f θ d θ

  1. Os limites da cardioide vão de 0 a 2 π :

    2. r m = 1 2 π - 0 ∫ 0 2 π a ( 1 - cos ⁡ θ ) d θ

    r m = a 2 π ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ

    r m = a 2 π θ - s e n   θ 0 2 π

    r m = a 2 π 2 π = a

    E prontinho, agora só fazer os mesmos passos para b e c.

    Passo 2

  2. Os limites do círculo completo vão de 0 a 2 π :

    3. r m = 1 2 π - 0 ∫ 0 2 π a   d θ

    r m = a 2 π θ 0 2 π

    r m = a

    Passo 3

  3. Os limites já foram dados, basta substituir:

r m = 1 π 2 - - π 2 ∫ - π / 2 π / 2 a ( cos ⁡ θ ) d θ

r m = a π ∫ - π / 2 π / 2 ( cos ⁡ θ ) d θ

r m = a π s e n   θ - π 2 π 2

r m = a π 1 + 1 = 2 a π

Bora pro próximo.

Resposta

  1. a
  2. a
  3. 2 a π

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