r = f(θ) contra r = 2 * f(θ) Alguma coisa pode ser dita sobre os comprimentos relativos das curvas r = f(θ), α ≤ θ ≤ β , e r = 2 * f(θ), α ≤ θ ≤ β? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala gente tudo bem? Bora jogar na fórmula do comprimento e ver o que sai de bom:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos achar a derivada da função para substituir na fórmula:

d r d θ = 2 f ' ( θ )

L = ∫ α β 2 f θ 2 + 2 f ' ( θ ) 2 d θ

L = ∫ α β 4 f θ 2 + 4 f ' θ 2 d θ

L = ∫ α β 4 f θ 2 + f ' θ 2 d θ

L = 2 ∫ α β f θ 2 + f ' θ 2 d θ

Podemos concluir que o comprimento da curva r = 2 f ( θ ) é o dobro do comprimento da curva r = f ( θ ) .

Terminamos essa seção finalmente, te espero na próxima!

Resposta

O comprimento de r = 2 f ( θ ) é o dobro do comprimento de r = f ( θ )

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