Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = t * sen(t), y = t * cos(t); 0 ≤ t ≤ π/2

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade de área da superfície de rotação.

Então é o seguinte. A gente tem uma curva parametrizada y = f ( t ) e x = g ( t ) . A área da superfície obtida pela rotação sobre o eixo x é dada por:

S = 2 π ∫ a b y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então o que a gente precisa fazer aqui é derivar as nossas curvas e utilizar a fórmula dada. E o intervalo de integração a gente já tem, é o:

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 2

Vamos derivar x = t sen ⁡ t utilizando a regra do produto, já que temos um produto entre funções:

d x d t = t cos ⁡ t + sen ⁡ t

E agora, derivar     y = t   c o s   t :

d y d t = - t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Então vamos elevar os termos que a gente encontrou ao quadrado:

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 cos 2 ⁡ t + 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t - 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Simplificando os termos semelhantes:

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Utilizando da identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 :

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + 1

Passo 3

Então temos que:

S = 2 π ∫ a b y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Temos que:

y = t   c o s   t

E

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + 1

E um intervalo de 0 ≤ t ≤ π 2 , isso implica que nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 π 2 2 π t cos ⁡ t t 2 + 1 d t ≈ 4,7394

Resposta

S ≈ 4,7394

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