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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 29

Comprimento da curva r = f θ ,   α ≤ θ ≤ β Assumindo que as derivadas necessárias são continuas, mostre como as substituições

x = f θ cos ⁡ θ ,   y = f θ s e n   θ

(equações 2 no texto) transformam

L = ∫ α β d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ

Em

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d               θ

Passo 1

Eae pessoal, exercício é de demonstração, mas não é tão complexo assim, vem ver!

Vamos tomar a curva r = f ( θ ) .

x = f θ cos ⁡ θ e y = f θ s e n   θ como mostrado no desenho a seguir.

Passo 2

Agora vamos derivar x e y utilizando a regra do produto, e depois soma-los para que vocês vejam a matemágica acontecendo:

d x d θ = d f θ cos ⁡ θ d θ

d x d θ = f ' θ cos ⁡ θ - f θ s e n   θ

d x d θ 2 = f ' θ cos ⁡ θ - f θ s e n   θ 2

d x d θ 2 = f ' θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 f ' ( θ ) f θ s e n θ cos ⁡ θ + f θ 2 s e n 2 θ

d y d θ = d f θ sen ⁡ θ d θ

d y d θ = f ' θ sen ⁡ θ + f θ c o s   θ

d y d θ 2 = f ' θ sen ⁡ θ + f θ c o s   θ 2

d y d θ 2 = f ' θ 2 sen 2 ⁡ θ + 2 f ' ( θ ) f θ s e n   θ cos ⁡ θ + f θ 2 cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Vamos somar as derivadas.

d x d θ 2 + d y d θ 2 = f ' θ 2 cos 2 ⁡ θ + f θ 2 s e n 2 θ + f ' θ 2 sen 2 ⁡ θ + f θ 2 cos 2 ⁡ θ

d x d θ 2 + d y d θ 2 = f ' θ 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + f θ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

Da relação fundamental da trigonometria cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

d x d θ 2 + d y d θ 2 = f ' θ 2 + f θ 2

Passo 4

Retomando o comecinho da demonstração, r = f θ , podemos reescrever no seguinte formato:

d x d θ 2 + d y d θ 2 = f ' θ 2 + f θ 2 = d r d θ 2 + r 2

Do mesmo modo:

L = ∫ α β d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ = ∫ α β d r d θ 2 + r 2 d θ

E está demonstrado.

Não é tão difícil assim né? Só precisa da sacada matemática, bora pra próximo.

Resposta

Demonstração

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