Comprimento da curva r = f θ ,α ≤ θ ≤ β Assumindo que as derivadas necessárias são continuas, mostre como as substituições x = f θ cos ⁡ θ ,y = f θ s e nθ (equações 2 no texto) transformam L = ∫ α β d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ Em L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 dθ

Enunciado

Eae pessoal, exercício é de demonstração, mas não é tão complexo assim, vem ver!

Vamos tomar a curva .

x = f θ cos ⁡ θ e como mostrado no desenho a seguir.

Agora vamos derivar x e y utilizando a regra do produto, e depois soma-los para que vocês vejam a matemágica acontecendo:

Vamos somar as derivadas.

Da relação fundamental da trigonometria

Retomando o comecinho da demonstração, , podemos reescrever no seguinte formato:

Do mesmo modo:

E está demonstrado.

Não é tão difícil assim né? Só precisa da sacada matemática, bora pra próximo.

Demonstração