Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 18
Encontre a área da região dentro de um laço, onde .
Passo 1
Oiii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão de uma curva (dada em coordenadas polares):
Queremos calcular a área da região dentro de um laço.
Bom... Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela seguinte integral:
Onde e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .
No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos dar uma olhadinha para .
Temos que:
Onde e o menor ângulo entre 0 e onde a função volta ao zero, então temos que nosso intervalo é:
Passo 3
Como a expressão do raio foi dada, já podemos calcular a integral:
Precisamos de uma substituição para resolver essa integral... vamos lá!!
Usando as relações:
e a fórmula do arco duplo do cosseno:
Trocando por , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 4
Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:
Colocando a constante para fora da integral:
Aplicando a propriedade da subtração:
Usando que uma primitiva da função na segunda integral e , temos: