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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 6

Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade juntos.

Vamos aqui calcular a área da curva:

r = 1 + cos ⁡ θ

Vamos então utilizar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

O r das coordenadas polares é a distância entre a origem e o ponto e o ângulo θ é inclinação desse r em relação a horizontal, abaixo existe uma melhor visualização desse tipo de coordenada e sua relação com as coordenadas cartesianas:

Os limites de integração podemos encontrar a partir da figura. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 0,0 ) e dá uma volta completa, ou seja, percorreu um ângulo θ = π   r a d .

Na figura acima mostra que deveremos ter o ângulo θ ‘varrendo’ a figura demarcada de 0 até π .

Passo 2

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ π e substituindo r = 1 + cos ⁡ θ , obtemos:

A = ∫ 0 π 1 2 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

Realizando o produto notável:

A = 1 2 ∫ 0 π ( 1 + 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ ² θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: c o s 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ

Realizando a distributiva:

A = 1 2 ∫ 0 π 3 2 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Realizando as integrações:

A = 1 2 3 2 θ + 2   s e n   θ + 1 4   s e n   2 θ 0 π

Colocando os intervalos nas funções:

A = 1 2 3 2 π + 2 sin ⁡ π + 1 4 sin ⁡ 2 π - 1 2 3 2 ∙ 0 + 2 sin ⁡ 0 + 1 4 sin ⁡ 2 ∙ 0

A = 1 2 3 2 π + 0 + 0 - 1 2 0

Temos então que nossa área é:

A = 3 4 π

Resposta

A = 3 4 π

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