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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 27

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 3 cos ⁡ θ

r = 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando. Vamos utilizar o Desmos para nos ajudar a visualizar essa situação.

Portanto, queremos a área dessa região hachurada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular. Para encontrar o intervalo de integração, a gente vai precisar igualar as equações, já que como podemos ver no gráfico gerado, é onde começa a região que a gente quer.

Passo 2

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.

Para isso, igualamos as duas curvas:

3 cos ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3

Ou

θ = 5 π 3

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 3 ≤ θ ≤ 5 π 3

Então, o intervalo de integração é

a = π 3

b = 5 π 3

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de 0 até θ = π 3 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 3 cos ⁡ θ

r = 1 + cos ⁡ θ

Então agora é só substituir e integrar esse negócio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 3 cos ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 9 cos 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Como aqui a gente tá com duas integrais grandes, vamos juntar elas pra ver se corta alguma coisa e facilita a nossa vida:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 9 cos 2 ⁡ θ - 1 - 2 cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ d θ

Simplificando o cos 2 ⁡ θ :

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 8 cos 2 ⁡ θ - 1 - 2 cos ⁡ θ d θ

Vamos utilizar da identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 :

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 8 ∙ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ - 1 - 2 cos ⁡ θ d θ

Realizando a divisão:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 4 1 + cos ⁡ 2 θ - 1 - 2 cos ⁡ θ d θ

Agora a gente faz distributiva:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 4 + 4 cos ⁡ 2 θ - 1 - 2 cos ⁡ θ d θ

Realizando agora as integrais:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 3 + 4 cos ⁡ 2 θ - 2 cos ⁡ θ d θ

A 1 = 1 2 3 θ + 4 ∙ 1 2 sen ⁡ 2 θ - 2 sen ⁡ θ π / 3 0

A 1 = 1 2 3 θ + 2 sen ⁡ 2 θ - 2 sen ⁡ θ π / 3 0

Passo 5

Colocando os limites de integração:

A 1 = 1 2 π + 2 sen ⁡ 2 π 3 - 2 sen ⁡ π 3 - 0 + 2 sen ⁡ 0 - 2 sen ⁡ 0

Temos então:

A 1 = 1 2 π + 2 3 2 - 2 3 2 - 0 + 0 - 0

A 1 = 1 2 π + 3 - 3 - 0 + 0 - 0

A 1 = π 2

Assim, a área total da curva é

A T = 2 ⋅ A 1 = π

Resposta

A = π

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44- Use um gráfico para estimar os valores de θ para os quais as curvas r = 3 + s e n5 θ e r = 6s e nθ se interceptam. Então estime a área que está dentro de ambas as curvas.
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 1 + cos ⁡ θ ,r = 3 cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r 2 = 2s e n2 θ ,r = 1
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e nθ ,r = cos ⁡ θ
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 + s e nθ ,r = 3s e nθ