Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 11
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:
Lembra de como encontramos a área de uma curva polar?? Assim, olha:
A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??
A nossa curva é bem parecida com a curva do cosseno.
Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em unidades (o que faz “subir” o gráfico em unidades) e o cosseno está multiplicado por (o que faz a amplitude dele dobrar).
Assim, temos:
Passando para o plano polar, no primeiro quadrante, podemos ver que ele sai do ponto e vai para o ponto , ou seja, ele diminui sua amplitude de para da seguinte forma:
No segundo quadrante, ele fecha o quadrante com amplitude , ou seja, no ponto :
Já no terceiro quadrante ele torna a aumentar a sua amplitude em unidades:
Por fim, ele retorna ao ponto inicial com amplitude . Assim, temos a seguinte curva:
Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de são positivos.
Passo 3
Agora vamos calcular nossa área!!
Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornece extamente a área da curva.
Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.
Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico.
A linha que forma a fronteira do gráfico começa em e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo .
Passo 4
Aplicando os limites de integração e substituindo , obtemos:
Aplicando o produto notável e fazendo a multilplicação por , temos:
Podemos usar a propriedade trigonométrica:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
