Se a curva x = t + t^3 y = t - 1 / t^2 1 ≤ t ≤ 2

girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Precisamos escrever uma integral que represente a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

Sabemos que a área de uma superfície é

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que

d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Vamos primeiro dar uma olhada na região que precisamos trabalhar:

A gente quer encontrar a integral que é da área da superfície de um solido gerado ao rotacionar essa figura em torno do eixo x .

Para fazer isso, a gente precisa calcular as derivadas de:

x = t + t 3           y = t - 1 t 2

E montar a integral. O cálculo da integral em si, será feito utilizando uma calculadora, muito provavelmente essa integral não é possível de resolver na mão, vamos montar e ver se isso é verdade.

Passo 2

Temos então que:

x = t + t 3

Então

d x d t = 1 + 3 t 2

Agora vamos para y :

y = t - 1 t 2

Podemos reescrever como:

y = t - t - 2

d y d t = 1 + 2 t - 3

Vamos agora montar a integral, veja que o intervalo de integração é o de t que nos foi dado, já que estamos trabalhando em função de t , não precisamos encontrar o intervalo pelos meios que normalmente fazer, apenas utilizar o já dado:

S = ∫ 1 2 2 π t - 1 t 2 1 + 3 t 2 2 + 1 + 2 t - 3 2 d t

Desenvolvendo os produtos notáveis:

S = ∫ 1 2 2 π t - 1 t 2 2 + 4 t - 6 + 4 t - 3 + 6 t 2 + 9 t 4 d t

Aqui a gente só consegue resolver utilizando um software, o resultado é:

S ≈ 59.101

Resposta

S ≈ 59,101

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