Encontre a área da região sombreada:

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar a área sombreada da seguinte figura:

Onde a equação dessa curva é dada por:

r 2 = sin ⁡ 2 θ

Para isso, sabemos que a área A de uma curva polar é dada por:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Assim, precisamos determinar o intervalo de θ em que essa região está para podermos determinar os limites de integração na equação da área.

Passo 2

Bom... perceba que a região sombreada se encontra no primeiro quadrante inteiro, ou seja, 0 ≤ θ ≤ π / 2 , pela equação da área:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 r 2 d θ

Substituindo r 2 :

A = ∫ 0 π / 2 1 2 s e n 2 θ d θ

Passo 3

Para resolvermos a integral, vamos primeiro calcular a indefinida e no final a gente substitui os limites:

∫ 1 2 s e n 2 θ d θ

Colocando a constante para fora:

1 2 ∫ s e n 2 θ   d θ

Resolvendo a integral pela Regra da Cadeia, obtemos:

= - 1 4 cos ⁡ 2 θ + c

Substituindo os limites:

A = - 1 4 c o s 2 π 2 + 1 4 c o s 2 0 ∴

A = 1 4 + 1 4 ∴

A = 1 2

Resposta

A = 1 2

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