Encontre a área da região sombreada:
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar a área sombreada da seguinte figura:
Onde a equação dessa curva é dada por:
Para isso, sabemos que a área de uma curva polar é dada por:
Assim, precisamos determinar o intervalo de em que essa região está para podermos determinar os limites de integração na equação da área.
Passo 2
Bom... perceba que a região sombreada se encontra no primeiro quadrante inteiro, ou seja, , pela equação da área:
Substituindo :
Passo 3
Para resolvermos a integral, vamos primeiro calcular a indefinida e no final a gente substitui os limites:
Colocando a constante para fora:
Resolvendo a integral pela Regra da Cadeia, obtemos:
Substituindo os limites: