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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 3

Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

3.

r = s e n θ + c o s θ ,     0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Eaee, tudo bem?? Bom.. o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = s e n θ + c o s θ

Queremos calcular a área A dessa curva no intervalo 0 ≤ θ ≤ π .

Para isso, podemos encontrar essa área utilizando a seguinte integral:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora é só substituir pelos dados que o enunciado nos deu!! 😉

Passo 2

Aplicando a seguinte equação para obtermos a área da região delimitada pela função r (com os limites de integração dados no enunciado):

A = ∫ 0 π 1 2 r 2 d θ

Substituindo r :

A = ∫ 0 π 1 2 s e n θ + c o s θ 2 d θ

Vamos primeiro resolver a integral indefinida, e no final a gente calcula o resultado de cada limite:

∫ 1 2 s e n θ + c o s θ 2 d θ

Expandindo o polinômio:

∫ 1 2 c o s 2 θ + 2 s e n θ c o s θ + s e n 2 θ d θ

Usando a seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Ficamos com:

∫ 1 2 1 + 2 s e n θ c o s θ d θ

Passo 3

Pela linearidade da integral, temos:

∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 2 s e n θ c o s θ d θ

Integrando por substituição u = s e n θ ⇒ d u = c o s θ , teremos:

∫ 1 2 d θ + ∫ 2 u 2 d u

Integrando e voltando para θ :

θ 2 + 1 2 s e n 2 θ + c

Passo 4

Agora aplicamos os limites, temos:

A = θ 2 + 1 2 s e n 2 θ π 0

A = π 2 + 1 2 s e n 2 π - 0 2 + 1 2 s e n 2 0

A = π 2

Resposta

A = π 2

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