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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 66

Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .

66. x = e t - t ,     y = 4 e t 2 ,       0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Queremos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva   x = e t - t ,     y = 4 e t 2 ,       0 ≤ t ≤ 1 , em torno do eixo y .

Sabemos que a área de uma superfície é S = ∫ a b 2 π x   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Então:

S = ∫ 0 1 2 π ( e t - t )   e t - 1 2 + 2 e t 2 2 d t

S = 2 π ∫ 0 1 ( e t - t )   e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t d t

S = 2 π ∫ 0 1 ( e t - t )   e 2 t + 2 e t + 1   d t

S = 2 π ∫ 0 1 ( e t - t )   ( e t + 1 ) 2     d t

S = 2 π ∫ 0 1 ( e t - t )   ( e t + 1 ) d t

S = 2 π ∫ 0 1 e 2 t + e t - t e t - t d t

S = 2 π ∫ 0 1 e 2 t + e t - t d t - 2 π ∫ 0 1 t e t d t

Passo 2

Para calcular ∫ 0 1 t e t d t , vamos usar o método da integração por partes:

∫ 0 1 t e t d t = u v - ∫ v   d u

Onde u = t ,         d u = d t

d v = e t d t         v = e t

∫ 0 1 t e t d t = u v - ∫ v   d u = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t

Passo 3

Certo, agora vamos voltar para a nossa integral toda:

S = 2 π ∫ 0 1 e 2 t + e t - t d t - 2 π ∫ 0 1 t e t d t

S = 2 π 1 2 e 2 t + e t - 1 2 t 2 - t e t - e t 0 1

S = 2 π 1 2 e 2 t + 2 e t - 1 2 t 2 - t e t 0 1

S = 2 π 1 2 e 2 t + 2 e - 1 2 - e - 1 2 + 2 - 0 - 0

S = 2 π 1 2 e 2 t + e - 3 ≈ 21,443

Resposta

S = 2 π 1 2 e 2 t + e - 3 ≈ 21,443

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