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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 63

Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

61. x = a cos 3 ⁡ θ ,       y = a sin 3 ⁡ θ ,         0 ≤ θ ≤ π / 2

Passo 1

Olá, meu querido e nobilíssimo amigo. Pronto para resolver essa atividade?

Veja bem, precisamos encontrar a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

A gente tem a parametrização:

x = a cos 3 ⁡ θ   ; y = a sin 3 ⁡ θ

E precisamos encontrar a área dessa curva, rotacionando em relação a x . Para casos em que a gente tem que fazer esse calculo de área, e a curva é em coordenadas polares, a gente utiliza a seguinte integração.

Sabemos que a área de uma superfície é

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que

d s =   d x d θ 2 + d y d θ 2

Veja que o intervalo de integração já nos é dado na questão.

Passo 2

Então vamos calcular d x d θ 2 + d y d θ 2 primeiro:

Aqui a gente precisa utilizar a regra da cadeia para derivar, veja que temos composição de função aqui:

d x d θ 2 + d y d θ 2 = a d ( u 3 ) d u ⋅ d d θ cos ⁡ θ + a d ( u 3 ) d u ⋅ d d θ sin ⁡ θ

d x d θ 2 + d y d θ 2 = ( - 3 acos 2 ⁡ θ s e n   θ ) 2 + ( 3 a s e n 2 θ cos ⁡ θ ) 2

d x d θ 2 + d y d θ 2 = 9 a 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ

Agora a gente vai montar a nossa integral:

S =   ∫ 0 π / 2 2 π a s e n 3 θ 9 a 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ   d θ  

Podemos retirar os termos de dentro da raiz:

S =   ∫ 0 π / 2 2 π a s e n 3 θ 3 a s e n θ c o s θ   d θ

Retirando as constantes de dentro da integral, e agrupando o seno:

S = 6 π a 2 ∫ 0 π 2 s e n 4 θ c o s θ   d θ

Para integrar aqui a gente vai fazer a seguinte substituição:

u = sin ⁡ θ   ; d u = cos ⁡ θ d θ

S = 6 π a 2 ∫ u 4 d u

S = 6 π a 2 u 5 5

Substituindo o u :

S = 6 5 π a 2 s e n 5 θ 0 π / 2

Colocando os intervalos de integração a gente tem:

S = 6 5 π a 2

Resposta

S = 6 5 π a 2

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