Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x.

59. x = t^3, y = t^2, 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Então meu amigo, vamos resolver essa atividade.

Precisamos encontrar a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

A nossa superfície é a seguinte:

x = t 3 ,       y = t 2 ,         0 ≤ t ≤ 1

Sabemos que a área de uma superfície é

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que

d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Então veja que teremos que encontrar as derivadas de x t e y t antes de montarmos nossa integral, mas elas são simples, você vai tirar de letra.

Passo 2

Então temos:

x = t 3

d x d t = 3 t 2

y = t 2

d y d t = 2 t

Substituindo na integral:

S =   ∫ 0 1 2 π t 2 9 t 4 + 4 t 2   d t  

Colocando em evidencia:

S = 2 π ∫ 0 1 t 2 t 2 ( 9 t 2 + 4 )   d t  

Vamos usar uma substituição com u = 9 t 2 + 4 ,       d u = 18   t d t , veja que também precisamos mudar os limites de integração:

t = 1

u = 13

t = 0

u = 4

Montando nossa nova integral:

S = 2 π ∫ 4 13 u - 4 9 u d u 18  

S = 2 π 9 ⋅ 18 ∫ 4 13 u 3 2 - 4 u 1 2     d u

Realizando o cálculo da integral:

S = π 81 2 5 u 5 2 - 8 3 u 3 2 4 13

Substituindo os intervalos de integração:

S = 2 π 1215 3 ⋅ 13 2 13 - 20 ⋅ 13 13 - 3 ⋅ 32 - 20 ⋅ 8

S = 2 π 1215 ( 247 13   + 64 )

Resposta

S = 2 π 1215 ( 247 13   + 64 )

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