Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 5
Encontre a área da região sombreada, onde .
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Vamos resolver essa atividade?
A gente precisa encontrar a área da região sombreada onde:
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral
onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .
No caso, está bem explícito qual a função, porém, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que será o domínio de integração.
Teremos que
pelo Teorema Fundamental do Cálculo, onde e uma primitiva de .
Passo 2
Na figura, a área sombreada está no primeiro e segundo quadrante
então o ângulo percorre, partindo do eixo no sentido anti-horário, para percorrer o primeiro quadrante e mais para percorrer o segundo.
Portanto, partindo do 0 o ângulo percorre , então temos que o intervalo em questão e:
Passo 3
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Temos que uma primitiva da função que queremos integrar e ,então:
Resposta
Logo, a resposta e: