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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 56

  1. Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ ,     a ≤ θ ≤ b (onde f ' é contínua e 0 ≤ a < b ≤ π ) , em torno da reta θ = π 2 .
  2. Calcule a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata r 2 = c o s 2 θ em torno da reta θ = π 2 .

Passo 1

Fala, galera!! Beleza?

A questão pede pra gente achar uma fórmula pra área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno da reta θ = π 2 . Essa reta é o próprio eixo y !

Ou seja, a gente pega a curva, gira em torno do eixo, e toda essa região que a curva passa é a superfície que a gente vai calcular a área.

Pra calcular isso, a gente vai usar a fórmula da área de revolução:

A = ∫ a b 2 π x d x d t 2 + d y d t 2 d t

Depois, nossa missão vai ser usar essa fórmula que a gente achar em (a) pra calcular a área de rotação de uma curva específica!

Passo 2

(a)

Vamos começar mexendo na expressão da área de revolução:

A = ∫ a b 2 π x   d x d t 2 + d y d t 2   d t

Como a gente tá falando de uma equação polar, o parâmetro muda de t para θ , e nossos x e y vão ficar assim:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Assim,

d x d θ 2 = d r cos ⁡ θ d θ 2 =

Usando a regra do produto:

= d r d θ ∙ cos ⁡ θ + r ∙ d cos ⁡ θ d θ 2 = d r d θ ∙ cos ⁡ θ - r ∙ sen ⁡ θ 2 =

Abrindo o quadrado da diferença:

= d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 d r d θ ∙ r ∙ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ + r 2 ∙ sen 2 ⁡ θ

Da mesma forma,

d y d θ 2 = d r sen ⁡ θ d θ 2 =

= d r d θ ∙ sen ⁡ θ + r ∙ d sen ⁡ θ d θ 2 = d r d θ ∙ sen ⁡ θ + r ∙ cos ⁡ θ 2 =

Abrindo o quadrado da soma:

= d r d θ 2 sen 2 ⁡ θ + 2 d r d θ ∙ r ∙ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ + r 2 ∙ cos 2 ⁡ θ

Se a gente juntar os dois termos que calculamos agora fica:

d x d θ 2 + d y d θ 2 = d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 d r d θ ∙ r ∙ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ + r 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + d r d θ 2 sen 2 ⁡ θ + 2 d r d θ ∙ r ∙ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ + r 2 ∙ cos 2 ⁡ θ

Cancelando os dois termos em negrito:

= d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + d r d θ 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 ∙ cos 2 ⁡ θ =

Colocando d r d θ 2 e r 2 em evidência:

= d r d θ 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + r 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ =

Como sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ,

d x d θ 2 + d y d θ 2 = d r d θ 2 + r 2

Substituindo na integral:

A = ∫ a b 2 π r cos ⁡ θ   d r d θ 2 + r 2   d θ

Mas a gente sabe que r = f ( θ ) , então:

A = ∫ a b 2 π   f ( θ ) cos ⁡ θ   f ' ( θ ) 2 + ( f θ ) 2   d θ

Passo 3

(b)

Agora a gente vai ter que aplicar essa integral na curva lemniscata... mas que curva é essa?!

Bom, a questão deu a equação polar dela, e isso é tudo que a gente precisa:

r 2 = cos ⁡ ( 2 θ )

A primeira coisa que vamos fazer é colocar essa equação no formato r = f θ :

r = ± cos ⁡ 2 θ

Só que esse r que aparece na equação é o raio, ou seja, ele não pode ser negativo! Então a gente não precisa colocar esse “ ± ”:

r = cos ⁡ 2 θ

Pra calcular a área da superfície de revolução, falta achar:

- f ' ( θ )

- Os limites de integração a e b

Para calcular f ' ( θ ) :

f θ = r

f ' θ = d r d θ

Sabemos que

r 2 = c o s ⁡ ( 2 θ )

Então

d d θ r 2 = d d θ cos ⁡ 2 θ

Pra calcular isso vamos usar a regra da cadeia:

d r 2 d r ∙ d r d θ = - 2 sen ⁡ 2 θ

2 r ∙ d r d θ = - 2 sen ⁡ 2 θ

Isolando o d r d θ :

f ' θ = d r d θ = - sen ⁡ 2 θ r

Como a curva tá contornando o eixo y , basta pegarmos a parte da curva a direita do eixo y (1º e 4º quadrantes). Ou seja, estamos no intervalo onde θ varia entre - π 2 e π 2 . Mas esses ainda não são os limites de integração!

Vamos voltar pra equação polar:

r 2 = cos ⁡ 2 θ

Como r 2 é sempre positivo, o cos ⁡ 2 θ também vai ser.

cos ⁡ 2 θ ≥ 0

Isso acontece quando 2 θ estiver entre - π 2 e π 2 , que é quando o cos ⁡   é positivo:

- π 2 ≤ 2 θ ≤ π 2

Pra encontrar os limites de θ , é só dividir essa inequação toda por 2 :

- π 4 ≤ θ ≤ π 4

E esses são os limites de integração!

Agora vamos colocar todas essas informações na integral:

A = ��� a b 2 π   f ( θ ) cos ⁡ θ   f ' ( θ ) 2 + ( f θ ) 2   d θ

A = ∫ - π 4 π 4 2 π r cos ⁡ θ - sin ⁡ 2 θ r 2 + r 2   d θ

Passo 4

Então vamos calcular essa integral!

Primeiro vamos abrir esse termo que estão ao quadrado dentro da raiz:

A = ∫ - π 4 π 4 2 π r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ 2 θ r 2 + r 2   d θ =

Depois, vamos colocar o r pra dentro da raiz, porque aí vai aparecer um r 2 , que vai cancelar com o r 2 que tá no denominador.

A gente só pode fazer isso porque o r é sempre positivo!!

= ∫ - π 4 π 4 2 π cos ⁡ θ r 2 ∙ sin 2 ⁡ 2 θ r 2 + r 2   d θ =

Agora fazendo distributiva:

= ∫ - π 4 π 4 2 π cos ⁡ θ sin 2 ⁡ 2 θ + r 4   d θ =

Já que r 2 = cos ⁡ 2 θ , r 4 = r 2 2 = cos 2 ⁡ 2 θ , então vamos colocar isso na integral:

= ∫ - π 4 π 4 2 π cos ⁡ θ sin 2 ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ   d θ =

Pra simplificar o que está dentro da raiz, a gente usa a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

= ∫ - π 4 π 4 2 π cos ⁡ θ 1   d θ = ∫ - π 4 π 4 2 π cos ⁡ θ d θ =

Agora resolvemos a integral:

= 2 π sin ⁡ θ - π 4 π 4 =

= 2 π sin ⁡ π 4 - 2 π sin ⁡ - π 4 =

= 2 π ∙ 2 2 - 2 π ∙ - 2 2 =

= π 2 + π 2

A = 2 π 2

Resposta

(a)

A = ∫ a b 2 π   f ( θ ) cos ⁡ θ   f ' ( θ ) 2 + ( f θ ) 2   d t

(b)

A = 2 π 2

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Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide r = 2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por elar = 2 + cos 2 theta
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 3 sen ⁡ θ r = 2 - sen ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 + 2 cos ⁡ θ r = 3 + 2 sen ⁡ θ