Encontre a área da regiao sombreada, onde r = s e n 2 θ .

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ

onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

No caso, como temos a forma da integral apresentada, basta sabermos a função a ser integrada e seus limites para realizarmos o cálculo e obter o resultado pedido pela questão.

A região sombreada está presente na imagem

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos montar nossa integral.

Temos que a função apresentada pela questão é r θ = sen ⁡ 2 θ .

O intervalo de integração é dado por a , b = [ 0 , π / 2 ] , pois na figura apresentada no passo 1 podemos ver que a região sombreada se encontra no primeiro quadrante.

A integral a ser resolvida, portanto, é dada por

∫ 0 π / 2 1 2 sen ⁡ 2 θ   2   d θ = ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ 2 θ 2   d θ

Passo 3

Teremos então

∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ 2 θ 2   d θ

Para resolvermos essa integral, basta calcularmos da forma que faríamos em uma integral usual em coordenadas cartesianas.

Precisamos utilizar a fórmula fundamental da trigonometria e a soma de arcos para reescrever o integrando

s e n 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ⁡ θ

Utilizando essas relações, podemos obter

s e n 2 ⁡ 2 θ = 1 - cos ⁡ 4 θ 2

Passo 4

Realizando essas substituições, temos para resolver a integral

∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 4 θ 2   d θ

=   ∫ 0 π 2 1 4 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ 4 d θ

Integrando as funções, temos

= π 8 - 0 - s e n ⁡ 2 π 16 - 0 = π 8

Com isso conseguimos chegar ao resultado, pessoal!

Resposta

Logo, a resposta é

π 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados