Enunciado

Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... Queremos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva

x = 2 a   c o t g   θ

y = 2 a   s e n 2 θ

No intervalo π 4 ≤   θ ≤ π 2 , em torno do eixo x , usando a Regra de Simpson com n = 4 .

Sabemos que a área de uma superfície é

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que

d s =   d x d θ 2 + d y d θ 2

Para resolver essa integral a gente vai usar a Regra de Simpson. Mas que regra é essa???

Regra de Simpson é uma técnica de integração numérica que utiliza polinômios de segundo grau (parábolas) para aproximar a área sob uma curva.

Essa regrinha pode ser dada da seguinte forma:

∫ a b f x d x ≈ Δ x 3 f a + 4 f a + b 2 + f b

Em que:

Δ x = b - a n

Onde n é o número de subintervalos!!

Então vamos lá!

Passo 2

Da integral, sabemos que:

S = ∫ a b 2 π y   d s

Onde:

y = 2 a   s e n 2 θ

E, caldulando d s , temos:

d s =   d x d θ 2 + d y d θ 2

Derivando x e y com relação a θ , temos:

d s = csc 4 ⁡ θ + s e n 2 θ d θ

Assim, substituindo na integral, obtemos:

∫ π / 4 π / 2 2 π 2 a s e n 2 θ csc 4 ⁡ θ + s e n 2 θ d θ

Agora vamos aplicar na Regra de Simpson!!

Passo 3

A Regra de Simpson com n = 4 nos dá:

∆ θ = π 2 - π 4 4

∆ θ = π 16

E

f θ = s e n 2 θ csc 4 ⁡ θ + s e n 2 2 θ  

Assim, nossa superfície fica:

S ≈ 4 π a π 48 f π 4 + 4 f 5 π 16 + 2 f 3 π 8 + 4 f 7 π 16 + f π 2

S ≈ 11,0893 a

Resposta

S ≈ 11,0893 a

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