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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 64

Encontre a área da região sob a curva dada de 1 até 2 .

y = 1 x 3 + x

Passo 1

Como a questão pede a área sob o gráfico da curva, basta fazer a integral

A R E A = ∫ 1 2 1 x 3 + x d x

Para isso, vamos usar frações parciais! Fatorando o denominador, obtemos

1 x 3 + x = 1 x   ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B x + C x x 3 + x

Assim,

A + B x 2 + C x + A = 1

Portanto, A = 1 , C = 0 e A + B = 0 ⇒ B = - A = - 1 . Portanto,

A R E A = ∫ 1 2 1 x - x x 2 + 1 d x

Passo 2

Fazendo u = x 2 + 1 , chegamos que a primitiva de x x 2 + 1 é

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Assim,

A R E A = ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 1 2 = ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 2

Portanto,

A R E A = 3 2 ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 5

Resposta

3 2 ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 5

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