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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 63

Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ 0 π 2 s e n   2 x 2 + cos ⁡ x   d x

Passo 1

O problema pede pra a gente usar a substituição do exercício 57 para transformar o ntegrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ 0 π 2 s e n   2 x 2 + cos ⁡ x   d x

No exercício 57 vimos que a substituição:

t = t g   x 2

é equivalente a:

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso:

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

s e n   2 x 2 + cos ⁡ x   d x = 2   s e n   x cos ⁡ x 2 + 1 - t 2 1 + t 2     d x = 2 2 t 1 + t 2 1 - t 2 1 + t 2 2 + 1 - t 2 1 + t 2   2 1 + t 2   d t

= 8 t 1 - t 2 1 + t 2 2 2 1 + t 2 + 1 - t 2 d t

∫ 0 π 2 s e n   2 x 2 + cos ⁡ x   d x = ∫ 0 1   8 t 1 - t 2 t 2 + 3 1 + t 2 2 d t

Passo 2

Bora fatorar essa galera:

= 8 t 1 - t 2 t 2 + 3 1 + t 2 2 d t

Fazemos:

= 1 - t 2 t 2 + 3 1 + t 2 2 = A t 2 + 3 + B 1 + t 2 + C 1 + t 2 2

1 - t 2 = A 1 + t 2 2 + B 1 + t 2 t 2 + 3 + C t 2 + 3

1 - u = A 1 + u 2 + B 1 + u u + 3 + C u + 3

1 - u = A 1 + u 2 + 2 u + B 3 + u 2 + 4 u + C ( u + 3 )

Agora a gente pode montar um sistema:

- u → 2 A + 4 B + C = - 1

1 → A + 3 B + 3 C = 1

0 u 2 → A + B = 0

Resolvendo o sistema chegamos em:

A = 1

B = - 1

C = 1

Logo:

∫ 0 1   8 t 1 - t 2 t 2 + 3 1 + t 2 2 d t = ∫ 0 1   8 t t 2 + 3 - 8 t 1 + t 2 + 8 t 1 + t 2 2

Passo 3

Chegou a vez de resolver as integrais!

∫ 0 1   8 t t 2 + 3 - 8 t 1 + t 2 + 8 t 1 + t 2 2   d t

Vamos resolver cada parcela separadamente, usando a técnica de substituição:

∫ 8 t t 2 + 3   d t

u = t 2 + 3

d u = 2 t   d t  

= ∫ 4 u   d u = 4 ln ⁡ u

Podemos tirar que:

∫ 8 t t 2 + 1   d t = ∫ 4 u = 4 ln ⁡ u

Onde:

u = t 2 + 1

Agora por último:

∫ 8 t t 2 + 1 2   d t

u = t 2 + 1

∫ 4 u 2 = - 4 u

Portanto temos:

∫ 0 1   8 t t 2 + 3 - 8 t 1 + t 2 + 8 t 1 + t 2 2   d t = 4 ln ⁡ t 2 + 3 - 4 ln ⁡ t 2 + 1 - 4 t 2 + 1 0 1  

= 4 ln ⁡ 4 - 4 ln ⁡ 2 - 4 2 - 4 ln ⁡ 3 + 4 ln ⁡ 1 + 4 1

= 4 ln ⁡ 2 3 + 2

Resposta

= 4 ln ⁡ 2 3 + 2

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b) ∫ c o s e c x d x = - ln ⁡ c o s e c x + c o t g x + c
c) ∫ c o s e c 2 x d x = - c o t g ( x ) + c
f) ∫ c o s s e c n x c o s s e c x c o t g x d x = - c o s s e c n + 1 x n + 1 + k ,n ≠ - 1 ⋅
No exercício a seguir calcule a integral definida. ∫ 16 18 1 x- x 3 4
Calcule a integral indefinida: ∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3