Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá o seguinte gráfico:

E pede para acharmos a área da região sombreada!

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. Ou seja:

x - 2 - 1 x + 1 = 4 x - x 2

Os limites de integração serão 0 e 2 pois este é intervalo no eixo x que delimita a região!!!

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = ∫ 0 2 x + 2 - 1 x + 1   d x

Podemos fazer:

∫ 0 2 x + 2 - 1 x + 1   d x = ∫ 0 2 x + 2 1 / 2   d x -   ∫ 0 2 1 x + 1 d x

Passo 3

Para a primeira integral podemos fazer uma substituição, onde u = x + 2 e d u = d x , então:

∫ 0 2 x + 2 1 / 2   d x = ∫ 0 + 2 2 + 2 u 1 / 2   d x = ∫ 2 4 u 1 / 2   d x

Integrando:

∫ 2 4 u 1 / 2   d x = u 3 / 2 3 2 2 4 = 2 3 u 3 / 2 2 4

= u 3 / 2 3 2 2 4 = 2 3 4 3 2 - 2 3 2

= 2 3 4 3 - 2 3 2 = 2 3 8 - 2 2 =

Passo 4

Agora a integral:

∫ 0 2 1 x + 1 d x

Fazendo:

u = 1 + x

d u = d x

Temos:

∫ 0 2 1 x + 1 d x = ∫ 0 + 1 2 + 1 1 u d u = ∫ 1 3 1 u d u

∫ 1 3 1 u d u = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3

Juntando tudo temos:

A = 2 3 8 - 2 2 - ln ⁡ 3

Prontinho!

Resposta

A = 2 3 8 - 2 2 - ln ⁡ 3

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