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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.1 - Ex. 2

Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá o seguinte gráfico:

E pede para acharmos a área da região sombreada!

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. Ou seja:

(sqrt(x - 2)) - ((1)/(x + 1)) = 4 x - x^2

Os limites de integração serão 0 e 2 pois este é intervalo no eixo x que delimita a região!!!

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = int_0^2 (sqrt(x + 2) - (1)/(x + 1)) d x

Podemos fazer:

int_0^2 (sqrt(x + 2) - (1)/(x + 1)) d x = int_0^2 (x + 2)^(1 // 2) d x - int_0^2 (1)/(x + 1) d x

Passo 3

Para a primeira integral podemos fazer uma substituição, onde u = x + 2 e d u = d x , então:

int_0^2 (x + 2)^(1 // 2) d x = int_(0 + 2)^(2 + 2) (u)^(1 // 2) d x = int_2^4 u^(1 // 2) d x

Integrando:

int_2^4 u^(1 // 2) d x = [(u^(3 // 2))/((3)/(2))]_2^4 = [(3)/(4) u^(3 // 2)]_2^4

= [(u^(3 // 2))/((3)/(2))]_2^4 = (2)/(3) (4^((3)/(2)) - 2^((3)/(2)))

= (2)/(3) (sqrt(4^3) - 2^((3)/(2))) = (2)/(3) (8 - 2 sqrt(2)) =

Passo 4

Agora a integral:

int_0^2 (1)/(x + 1) d x

Fazendo:

u = 1 + x

d u = d x

Temos:

int_0^2 (1)/(x + 1) d x = int_(0 + 1)^(2 + 1) (1)/(u) d u = int_1^3 (1)/(u) d u

int_1^3 (1)/(u) d u = ln 3 - ln 1 = ln 3

Juntando tudo temos:

A = (2)/(3) (8 - 2 sqrt(2)) - ln 3

Prontinho!

Resposta

A = (2)/(3) (8 - 2 sqrt(2)) - ln 3

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