Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 31
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Pronto para mais uma resolução?
A gente tem duas curvas:
E queremos encontrar a área da região que está dentro das duas curvas simultaneamente.
Temos em mãos duas rosáceas de 4 pétalas, a possui suas pétalas divididas pelos eixos ordenados, já a possui simetria em relação aos eixos ordenados.
Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.
Portanto, queremos a área dessa região sombreada.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.
Para isso, basta igualarmos as duas curvas:
Então vamos pensar. Eu sei que a região sombreada está em todos os quadrantes, mas por hora, vamos focar só no primeiro quadrante.
Se a gente imaginar uma reta bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva de até e depois, a partir de passasse a ser a curva , até algum outro valor de e depois voltasse a ser a curva ... e fosse repetindo esse padrão.
Vê se você consegue visualizar isso:
Acontece que, se aproveitando de que existe um padrão e uma simetria, a gente pode dividir essa região em áreas e cada uma dessas áreas, a gente divide em , bem no meio, como ali no primeiro quadrante, que essa divisão fica exatamente na reta , que é a interseção das curvas.
Então ficamos combinados de calcular a área só de até e depois a gente multiplica isso por , ok?
Passo 2
Continuando, falta a gente descobrir quem é o .
O é a própria parametrização.
Mas agora a gente precisa ficar esperto. Como dividimos nossa curva em partes e só vamos calcular a integral de até , temos que nos atentar, como a gente tinha conversado ali em cima, que nesse intervalo a nossa região de interesse é definida apenas pela curva cinza, que é a curva
Assim, esse é o nosso .
Então agora é só substituir e integrar esse negócio.
Passo 3
Vamos lá:
Substituindo:
Utilizando da identidade trigonométrica:
Separando em duas a integral:
Integrando:
Substituindo os limites de integração:
Temos então:
Assim, a área total da nossa região é