Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

Olá, meu querido amigo. Pronto para mais uma resolução?

A gente tem duas curvas:

E queremos encontrar a área da região que está dentro das duas curvas simultaneamente.

Temos em mãos duas rosáceas de 4 pétalas, a possui suas pétalas divididas pelos eixos ordenados, já a possui simetria em relação aos eixos ordenados.

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

Então vamos pensar. Eu sei que a região sombreada está em todos os quadrantes, mas por hora, vamos focar só no primeiro quadrante.

Se a gente imaginar uma reta bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva de até e depois, a partir de passasse a ser a curva , até algum outro valor de e depois voltasse a ser a curva ... e fosse repetindo esse padrão.

Vê se você consegue visualizar isso:

Acontece que, se aproveitando de que existe um padrão e uma simetria, a gente pode dividir essa região em áreas e cada uma dessas áreas, a gente divide em , bem no meio, como ali no primeiro quadrante, que essa divisão fica exatamente na reta , que é a interseção das curvas.

Então ficamos combinados de calcular a área só de até e depois a gente multiplica isso por , ok?