Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 26

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

26. x = t 3 ,   y = 3 t 2 / 2 ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

E aí, pessoal! Vem comigo em mais uma questão!

Nessa questão temos que calcular o comprimento de uma curva e, para isso, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, vamos seguir um roteiro bem definido, como uma receita de bolo: calculamos as derivadas, depois a raiz quadrada e depois a integral. Vamos lá!

Passo 2

O primeiro ingrediente são as derivadas

d x d t = d d t ( t 3 ) = 3 t 2  

d y d t = d d t ( 3 t 2 2 ) = 3 t  

Agora a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = 9 t 4 + 9 t 2 = 9 t 2 ( t 2 + 1 )

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = 3 t t 2 + 1

Passo 3

Como temos todos os ingredientes, já podemos partir para calcular a integral

L = ∫ 0 3 d x d t 2 + d y d t 2 d t = 3 ∫ 0 3 t t 2 + 1 d t

Para resolver essa integral, vamos fazer a mudança de variáveis

u = t 2 + 1 ⇒ d u = 2   t d t ,  

t = 0 → u = 1 ,   t = 3 → u = 4

Substituindo isso na integral, ficamos com

L = 3 ∫ 0 3 t t 2 + 1 d t = 3 2 ∫ 1 4 u d u

⇒ L = 3 2 ∫ 1 4 u d u = 3 2   ⋅ 2 3 u 3 / 2 | 1 4

⇒ L = 4 3 / 2 - 1 3 / 2 = 2 3 - 1 = 7

⇒ L = 7

O que você achou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

L = 7

Exercícios de Livros Relacionados

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + c o s 2 ( 5 θ )
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 + 2 cos ⁡ θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 - s e nθ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e n4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ