Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 6
Encontre a área da superfície.
A parte do cilindro que fica acima do quadrado com vértices e .
Passo 1
Fala, galerinha! De boa?
Nesse exercício iremos analisar a parte do cilindro
que fica acima do quadrado com vértices e .
Sendo assim, podemos reescrever a equação do cilindro como:
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Para ter nossa intersecção da nossa função com o plano é só igualarmos na nossa equação.
Lembrando também que:
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Vamos lá!
Passo 2
Temos então que encontrar as derivadas parciais e . Temos que:
Com isso, temos:
Derivando em relação a , temos:
Como não temos nenhum termo que depende de e quando estamos derivando em , é constate, a derivada será zero:
Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:
Simplificando as operações dentro da raiz:
Passo 2
Nossa região no plano é descrita por:
quadrado com vértices e
Olhando no eixo , temos que seu valor vai de 0 a 1 e também vai de 0 a 1, então:
Aplicando na nossa integral:
Podemos separar as duas integrais, com seus respectivos integrandos:
Passo 3
Ufa! Agora que nossa integral está completa, é só a gente resolver cada uma!
Resolvendo a :
Somando os termos dentro da raiz:
Simplificando por 4 nossa fração dentro da raiz:
Como:
Então nossa integral será:
Então:
Aplicando os limites de integração:
E, simplificando, temos: