E aí, pessoal! Tudo certo?

Nesse exercício iremos analisar a parte do parabolóide hiperbólico

que fica entre os cilindros

e

A área da superfície com a equação é:

Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:

• : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
• : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.

Também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Com as condições fornecidas no enunciado, a região de interesse será:

Ou seja, é um círculo com raio maior que 1 e menor que 4. Como essa região é circular, é mais fácil a gente expressar em coordenadas polares nossa integral.

Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.

Vem comigo!

Passo 2

Temos então que encontrar as derivadas parciais e . Temos que:

Derivando em relação a , tratamos todos os termos de como constante. Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

Derivando em relação a , tratamos todos os termos de como constante. Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

Com isso, temos:

Substituindo na nossa equação da área:

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

Passo 3



Já que a superfície sob a qual estamos integrando é um círculo, iremos mudar de coordenadas cartesianas para polares, sendo assim, temos:

• O raio das circunferências varia de 1 até 2:
• Como temos círculos completos nossos ângulos variam assim:

Como temos:

Podemos substituir e ficaremos com:

Separando cada produto para sua respectiva variável de integração: