Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 46
Encontre a área da superfície com precisão de quatrocasas decimais, expressando-as em termos de uma integral de função de uma variável real e usando sua calculadora para estimar a integral.
A parte da superfície que está dentro do cilindro
Passo 1
Para calcular a área de superfície usamos:
Nós temos que
Então, vamos encontrar as derivadas parciais:
Passo 2
Assim, substituindo na fórmula:
Podemos dar uma arrumadinha nessa expressão:
Passo 3
Tá bonitinho! Agora vamos colocar os limites de integração e calcular a integral dupla:
Note que para isso, vamos tranforma-las em coordenadas polares, logo não podemos esquecer de coloca o .
E sabemosa que
Então, temos que nossa integral dupla é:
Isso implica que:
Resposta
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3. Seja f:K→R de classeC 1 no compacto K com fronteira de conteúdonulo e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z = f( x ,y ) (istoé, da superfície σ dada por x=u ,y=vez=f( u ,v )) é dada
5 . Calcule a área da parte da superfície esférica x 2+y 2+z 2=1 que seencontra dentro do cone z ≥ x 2 + y ² ²
6 . Calcule a área da superfície z = sqrt(x^2 + y ²) , (x - 2)^2 + 4 y^2 = 1 ²
12 . Calcule a área da parte da superfície z=x y que se encontra dentro docilindro x 2+y 2≤4 e fora do cilindro x 2+y 2≤1
2 . Seja A=0 ,y ,z ∈R 3z 2+y-2 2=1 } ; ache a área da superfíciegerada pela rotação em torno do eixo Oz do conjunto A.