Encontre a área da superfície com precisão de quatrocasas decimais, expressando-as em termos de uma integral de função de uma variável real e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = cos( x^2 + y^2 ) que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Para calcular a área de superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Nós temos que

z = cos ⁡ x 2 + y 2

Então, vamos encontrar as derivadas parciais:

∂ y ∂ x = - 2 x   s e n ( x 2 + y 2 )

∂ y ∂ z = - 2 y   s e n ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Assim, substituindo na fórmula:

A S = ∬ D 1 + - 2 x   s e n ( x 2 + y 2 ) 2 + - 2 y   s e n ( x 2 + y 2 ) 2 d A

Podemos dar uma arrumadinha nessa expressão:

A S = ∬ D 1 + 4 x 2 s e n 2 x 2 + y 2 + 4 y 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 ) d A = ∬ D 1 + 4 x 2 + y 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 ) d A

Passo 3

Tá bonitinho! Agora vamos colocar os limites de integração e calcular a integral dupla:

Note que para isso, vamos tranforma-las em coordenadas polares, logo não podemos esquecer de coloca o r .

E sabemosa que

x 2 + y 2 = r 2

Então, temos que nossa integral dupla é:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r

Isso implica que:

A S = 2 r ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r ≈ 4,1073

Resposta

≈ 4,1073

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