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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 19

Calcule a integral dupla.

∬_R^() x y e^(x^2 y) d A , R = [0 , 1] xx [ 0 , 2 ]

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_0^2 int_0^1 x y e^(x^2 y) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^2 (int_0^1 x y e^(x^2 y) d x) d y

Passo 2

Para resolver a integral:

int_0^1 x y e^(x^2 y) d x

Devemos fazer a substituição de variáveis que já conhecemos:

u = x^2

d u = 2 x d x

Logo:

x d x = (d u)/(2)

Substituindo na nossa integral:

int y e^(u y) (d u)/(2)

Vamos considerar o y como um número constante, logo podemos passar para fora da integral com o 2:

(y)/(2) int e^(u y) d u

Integrando em u e considerando y uma constante a integral será igual a:

(y)/(2) int e^(u y) d u = (y)/(2) (e^(u y))/(y)

Agora voltando para a variável x e os valores de integração:

[(y)/(2) (e^(x^2 y))/(y)]_0^1

Vamos cancelar o y no numerador e no denominador e resolver substituir os limites da integral:

int_0^1 x y e^(x^2 y) d x = (1)/(2) (e^y - e^0)

int_0^1 x y e^(x^2 y) d x = (1)/(2) (e^y - 1)

int_0^2 ([(e^(x^2 y))/(2)]_0^1) d y = int_0^2 (1)/(2) (e^y - e^0) d y = int_0^2 (1)/(2) (e^y - 1) d y

Passo 3

Vamos colocar esse resultado para realizar a segunda integral:

int_0^2 (int_0^1 x y e^(x^2 y) d x) d y

int_0^2 (1)/(2) (e^y - 1) d y

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^2 (1)/(2) (e^y - 1) d y = (1)/(2) [e^y - y]_0^2 = (e^2 - 2 - e^0 + 0)/(2) = (e^2 - 3)/(2)

Beleza?

Resposta

(e^2 - 3)/(2)

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