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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 16

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro do círculo r = 6 acima da reta r = 3 c o s s e c   θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

6 = 3 c o s s e c θ

sen ⁡ θ = 1 2

θ = π 6   o u   5 π 6

Portanto, π / 6   e 5 π / 6 são os nossos pontos de intersecção. Assim, os limites vão de π 6 a 5 π / 6 .

Passo 2

A = ∫ π / 6   5 π / 6 1 2 6 2 - 9 c o s s e c 2 θ d θ

A = ∫ π / 6   5 π / 6 18 - 9 2 s e n 2 θ d θ

A = ∫ π / 6   5 π / 6 18 d θ - ∫ π / 6   5 π / 6 9 2 s e n 2 θ d θ

A = 18 θ + 9 2 cot ⁡ θ π / 6 5 π / 6

A = 15 π - 9 2 3 - 3 π + 9 2 3

A = 12 π + 9 3

Bora para a próxima!

Resposta

A = 12 π + 9 3

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Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 cos ⁡ θ r = sen ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r 2 = sen ⁡ 2 θ r 2 = cos ⁡ 2 θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = sen ⁡ 2 θ r = cos ⁡ 2 θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = a sen ⁡ θ r = b cos ⁡ θ a0,b0
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