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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 18

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro do círculo r = 4 sen ⁡ θ e abaixo da reta horizontal r = 3 c o s s e c   θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

3 cos sec ⁡ θ = 4 se n ⁡ θ

sen 2 ⁡ θ = 3 4

θ = π 3  

Portanto, π / 3 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de π / 3 a π / 2 , esses são os limites para o cálculo da área de cima em branco, para o cálculo da área em amarelo devemos fazer a área de círculo e subtrair dessa área de cima.

Passo 2

A = π ⋅ 2 2 - ∫ π / 3 π / 2 1 2 16 s e n 2 θ - 9 c o s s e c 2 θ d θ

A = 4 π - ∫ π / 3 π / 2 8 - 8 cos ⁡ 2 θ - 9 c o s s e c 2 θ d θ

A = 4 π - ∫ π / 3 π / 2 8 d θ - ∫ π 3 π 2 8 cos ⁡ 2 θ d θ - ∫ π / 3 π / 2 9 c o s s e c 2 θ d θ

A = 4 π - 8 θ - 4 s e n   2 θ - 9 cot ⁡ θ π / 3 π / 2

A = 4 π - 4 π - 0 + 0 - 8 π 3 - 2 3 + 3 3

A = 8 π 3 + 3

Terminamos essa sequência de exercícios, e agora começa a ficar um pouco menos direto, bora.

Resposta

A = 8 π 3 + 3

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