Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

O segmento parabólico r = 6 / (1 + cos(θ), 0 ≤ θ ≤ π/2) .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ 6 1 + cos ⁡ θ = 6 s e n   θ 1 + cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ 0 π / 2 6 1 + cos ⁡ θ 2 + 6 s e n   θ 1 + cos ⁡ θ 2 2 d θ

L = ∫ 0 π / 2 36 1 + cos ⁡ θ 2 + 36 s e n 2 θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 1 + sen 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 1 + 1 - cos 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 + 1 - cos 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 1 - cos 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π / 2 1 1 + cos ⁡ θ 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

L = 6 ∫ 0 π 2 1 1 + cos ⁡ θ 2 1 + cos ⁡ θ   d θ

L = 6 ∫ 0 π 2 2 1 + cos ⁡ θ 3 2   d θ

Das relações trigonométricas 1 + cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2

L = 6 2 ∫ 0 π 2 1 2 cos 2 ⁡ θ 2 3 2   d θ

L = 6 2 2 3 2 ∫ 0 π 2 1 cos ⁡ θ 2 3   d θ

L = 3 ∫ 0 π 2 sec 3 ⁡ θ 2   d θ

Passo 3

Chegando no final da integral, agora vamos aplicar o método da substituição, tomando

u = θ 2 ⇒ d u = 1 2 d θ e os limites são de 0 a π 4 :

L = 3 ∫ 0 π 4 2 sec 3 ⁡ u   d u

Agora podemos usar a tabela das integrais, pois essa não é uma integral simples,

L = 6 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ u   d u = 6 sec ⁡ u t g   u 2 0 π 4 + ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u 2 0 π / 4

L = 6 1 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2

L = 3 2 + 3 ln ⁡ 1 + 2

Trabalhoso né, bora pra próximo.

Resposta

L = 3 2 + 3 ln ⁡ 1 + 2

Exercícios de Livros Relacionados