Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.6 - Ex. 41

Encontre as assíntotas horizontais e verticais

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos encontrar as assíntotas horizontais e e verticais da função:

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Lembrando que pra achar assíntotas horizontais fazemos o limite da função com x tentendo para mais infinito e para menos infinito. Se esses limites derem um número bonitinho chamado L , a reta y = L será assíntota horizontal.

Já para achar assíntotas verticais vamos procurar pontos em que a função não esteja definida, tipo pontos que fazem ter divisão por zero, ou log negativo ou igual a zero, ou raiz negativa...

Daí fazemos o limite da função com x tendendo a esses pontos. Aí aqui é diferente... se o limite for pra mais ou menos infinito então as retas verticais nesses pontos serão assíntotas verticais.

Passo 2

Para encontrar a assíntota horizontal, tomaremos o limite da função quando x → ± ∞ .

Lembrando que uma boa técnica pra resolver limites quando x está tendendo para mais ou menos infinito é colocar o x com maior expoente em evidência:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 2 x 2 x 2 + x x 2 - 1 x 2 x 2 x 2 x 2 + x x 2 - 2 x 2

= lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 1 x - 1 x 2 1 + 1 x - 2 x 2

= 2 + 0 - 0 1 + 0 - 0

= 2

Logo, y = 2 é uma assíntota horizontal.

Passo 3

Para encontrar a assíntota vertical vamos pegar as restrições. Como só temos uma fração, então a única preocupação é quando o denominador for igual a zero, né?

Vamos achar para quais valores de x o denominador vira zero:

x 2 + x - 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = 1

x = - 2

Então agora calculamos os limites de x tendendo a 1 e de x tendendo a - 2 .

Passo 4

Para o limite de x tendendo a 1 :

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = 2 1 2 + 1 - 1 1 2 + 1 - 2

= 2 0

= ∞

Como o limite vai pra mais infinito, então x = 1 é uma assíntota vertical.

Para o limite de x tendendo a - 2 :

lim x → - 2 ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = 2 - 2 2 + ( - 2 ) - 1 ( - 2 ) 2 + - 2 - 2

= 5 0

= ∞

O limite também vai pra infinito, então x = - 2 também é assíntota vertical.

Passo 5

Mostraremos agora uma comprovação gráfica do resultado obtido. Usando alguma ferramenta pra plotar o gráfico:

Agora se traçarmos as linhas que achamos como assíntotas (a reta y = 2 em azul, x = 1 em vermelho e x = - 2 em laranja):

Resposta

y = 2 é uma assíntota horizontal

x = 1   e   x = - 2 é uma assíntota vertical

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a função f cujo gráfico é dado, determine os seguintes limites. lim x → 4 ⁡ f ( x ) lim x → 2 + ⁡ f x lim x → 2 - ⁡ f x lim x → 2 ⁡ f x lim x → - 3 + ⁡ f x lim x → - 3 - ⁡ f x lim x → - 3 ⁡ f x l
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 5) f x = 1 2 + 1 x
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 3) f x = 2 x - 3
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 6) f x = 1 8 - 5 x 2
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 4) f x = π - 2 x 2