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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 1d

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f x = - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 )

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal. Beleza, vamos começar calculando o limite.

Pro positivo:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 ∞ × ∞ = 0

Pro negativo:

lim x → - ∞ ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 - ∞ × - ∞ = 0

Beleza, então encontramos a assíntota horizontal:

y = 0

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = 3 e no x = - 4 , né? Vamos calcular os limites nesses x então!

Para x → 3 + :

lim x → 3 + ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 0 + × 7 + = - 1 0 + = - ∞

Para x → 3 - :

lim x → 3 - ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 0 - × 7 - = - 1 0 - = + ∞

Então realmente, a reta x = 3 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Para x → - 4 + :

lim x → - 4 + ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 - 7 + × 0 + = - 1 - 0 + = + ∞

Para x → - 4 - :

lim x → - 4 - ⁡ - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 ) = - 1 - 7 - × 0 - = - 1 - 0 - = - ∞

Então realmente, a reta x = - 4 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Resposta

As assíntotas são x = 3 , x = - 4 e y = 0 .

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