Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 55

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .

Passo 1

Faala meus queridões! Bora fazer mais uma questão de gráfico? Isso cai bastante em prova, então vamos com cuidado aqui...

Nessa questão temos a seguinte função:

E o enunciado pede para a gente algumas coisas.

Primeiro queremos encontrar as assíntotas.

Uma assíntota vertical é aquela no qual a função tende para mais ou menos infinito. Para isso vamos procurar por pontos onde a função não seja definida, onde ela tenha uma descontinuidade.

Uma assíntota horizontal é um valor real que a função tende quando vai para menos ou mais infinito:

Queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente

E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.

Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.

Ou pontos onde a derivada não exista:

Esses são pontos críticos da nossa função.

Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.

Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.

Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.

E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.

Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.

E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.

E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.

Passo 2

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de quando converge para o valor onde a função não está definida, o que neste caso é pois não existe divisão por zero.

Vamos olhar aqui para esse limite por ambos os lados.

E isso resulta em:

Já pelo outro lado, teremos:

O que já vai dar:

Portanto, quando tende a , a função tende a zero pela esquerda e tende a infinito positivo pela direita, e por isso, é uma assíntota vertical:

As assíntotas horizontais são os valores que converge quando tende aos infinitos:

Passo 3

Então, para deriva-la, vamos aplicar uma regra da cadeia e uma regra do quociente:

Para crescente:

Aqui temos uma divisão de funções. O numerador nunca é negativo, pois temos uma exponencial que é sempre positiva. E o denominador nunca é negativo, pois temos uma potência de grau par.

Dessa forma, é crescente em todo o seu domínio.

Temos ainda que essa derivada não é definida em .

Passo 4

Se é crescente em todo o seu domínio, então não possui máximo nem mínimo local.

Passo 5

Então, aplicando a regra do quociente, temos:

Derivando e aplicando a regra da cadeia quando necessário, temos:

Simplificando o que dá e colocando em evidência, temos:

Para com concavidade para cima:

Aqui, temos que todas as funções são positivas, com exceção do polinômio que está no numerador, dessa forma, será ele que irá dizer se a segunda derivada é positiva ou negativa, portanto: