Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 52
- Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores de máximo e mínimo locais
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E ela nos pede uma série de coisas... as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos crescente e decrescente da função, os valores máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidades, os pontos de inflexão e ainda temos que esboçar o gráfico de
Bastante coisa, não é?
As assíntotas horizontais são obtidas em , onde é obtido em
As assíntotas horizontais são obtidas como , onde é obtido a partir de
Os intervalos de crescimento e decrescimento são obtidos a partir da derivada de onde em obtemos o intervalo de crescimento e o intervalo de decrescimento.
Para obter os máximos e mínimos locais, fazemos para obter os pontos críticos e aplicamos o teste da segunda derivada... esse teste consiste em calcular a segunda derivada de e aplicar os pontos críticos... , é um ponto de mínimo, mas se , é um ponto de máximo.
Os pontos de inflexão são obtidos quando e as concavidades são determinadas quando (concavidade positiva) e (concavidade negativa).
Bora começar!
Passo 2
Pra começar ele nos pede para achar as assíntotas vertical e horizontal, mas antes de cair pra dentro vamos analisar o domínio da nossa função.
Repare que a única restrição que temos é que dentro do devemos ter algo positivo. Assim,
Resolvendo:
Logo,
Então o domínio será . Agora vamos ver como ficam as assíntotas.
Para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos tais que:
Como temos uma restrição quando . Vamos ver o que acontece com a nossa função:
Assim,
Como :
Isso quer dizer que será um conjunto de retas assintóticas verticais que a função tende a .
Além disso, quando temos que tende a e consequentemente tambem tende a .
Logo, temos outro conjunto de retas assintóticas em
Mas agora tende a .
Agora vamos verificar se tem assíntotas horizontais...
Como é uma função periódica e varia de a , esse limite vai divergir, portanto não temos assíntotas horizontais.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para acharmos os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Vamos analisar o sinal da primeira derivada.
Derivando pela regra da cadeia
Onde e
Isto é,
Simplificando:
Para :
Logo,
Resolvendo,
Então nossa função será crescente no intervalo acima.
Para :
Assim,
Resolvendo:
Então nossa função será decrescente no intervalo acima.
Show?
Passo 4
Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos . Então vamos lá!
Como já achamos :
Assim,
Opa, mas a nunca é zero, pois . Isso quer dizer que a função não possui ponto de máximo nem de mínimo.
Bacana, não é?
Passo 5
Agora temos que achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos achar
Simplificando:
Lá da trigonometria:
Logo,
Para achar vamos derivar pela regra da cadeia novamente.
Assim,
Arrumando as coisas:
Para :
Como é sempre positivo:
Logo,
Resolvendo:
Dividindo por :
Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.
Estamos quase no fim!
Passo 6
Para :
Fazendo a mesma simplificação anterior:
Isto é,
Dividindo por :
E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima.
Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,
Assim,
Fazendo o numerador igual a zero:
Resolvendo, temos:
Portanto,
Legal, né?
Passo 7
Pra finalizar, vamos esboçar o gráfico a partir das informações que obtemos anteriormente...
Vimos que a função possui assíntotas verticais em todo múltiplo de onde a função tende a e tambem em todo múltiplo de que a função tende a .
A partir tambem dos intervalos de crescimento e decrescimento que calculamos e das concavidades, podemos esboçar o gráfico de como
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
a)
Assíntotas verticais:
b)
Decrescente:
Crescente:
Onde
c)
Não possui ponto de mínimo nem de máximo.
d)
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
Ponto de inflexão:
Onde
e) Gráfico de :
