Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 27
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Fala galerinha!
Calcular limites pela definição é complicado e chato, porém parece mais complicado do que realmente é, pelo menos para os casos mais simples...
A definição precisa de limite é a seguinte:
Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:
A gente precisa provar o seguinte:
Que dado um pequeno intervalo ao redor de , há de conseguir achar um valorzinho pra , que qualquer dentro desse outro intervalinho retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo .
Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:
se então
Essas inequações são a chave! Vamos aplicar elas ao nosso limite e resolver:
Como neste caso , e , devemos achar tal que
se então
Passo 2
Presta atenção nessa dica! A gente sempre vai começar essa demonstração pela inequação que tem o :
Não precisamos de um módulo dentro do outro!
Opa! Essa expressão tá quase igual à nossa
Devemos agora procurar uma relação para que satisfaça o exposto acima. Podemos tomar qualquer que a relação será satisfeita pois, neste caso, se , então . Por simplicidade, tomaremos:
No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.
Passo 3
Se tomarmos , temos que se
Então
Provamos assim que o limite existe e vale .
Resposta
Demonstração.