Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Passo 1

Fala galerinha!

Calcular limites pela definição é complicado e chato, porém parece mais complicado do que realmente é, pelo menos para os casos mais simples...

A definição precisa de limite é a seguinte:

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:

lim x → a ⁡ f x = L

A gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo L - ε   ,   L + ε ao redor de L , há de conseguir achar um valorzinho pra δ , que qualquer x dentro desse outro intervalinho ( a - δ , a + δ ) retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Essas inequações são a chave! Vamos aplicar elas ao nosso limite e resolver:

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Como neste caso L = 0 , a = 0 e f x = | x | , devemos achar δ tal que

se 0 < x - 0 < δ então | x | - 0 < ϵ

Passo 2

Presta atenção nessa dica! A gente sempre vai começar essa demonstração pela inequação que tem o ϵ :

x - 0 < ϵ

Não precisamos de um módulo dentro do outro!

x - 0 < ϵ

Opa! Essa expressão tá quase igual à nossa

0 < x - 0 < δ

Devemos agora procurar uma relação para δ que satisfaça o exposto acima. Podemos tomar qualquer δ ≤ ϵ que a relação será satisfeita pois, neste caso, se x < δ , então x < ϵ . Por simplicidade, tomaremos:

δ = ϵ

No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ , temos que se

0 < x - 0 < δ = ϵ

Então

x < δ = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 0 .

Resposta

Demonstração.

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