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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 22

Nos Exercícios 19-22, encontre o trabalho realizado por F sobre a

curva na direção de t crescente

F = 6 z i + y 2 j - 12 x k r ( t ) = ( s e n ⁡ t ) i + ( c o s ⁡ t ) j + ( t / 6 ) k , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para calcularmos o trabalho realizado por F → = 6 z i → + y 2 j → - 12 x k → ao longo do caminho sobre a curva dada por r → = ( s e n ⁡ t ) i → + ( c o s ⁡ t ) j → + t 6 k → , com 0 ≤ t ≤ 2 π . Vamos utilizar a descrição teórica da página 373,374 e 375.

Passo 2

Comecemos escrevendo F → ao longo de C como uma função de t :

F → = t i → + c o s 2 ⁡ t j → + ( 12 s e n ⁡ t ) k →

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição:

d r → d t = ( c o s ⁡ t ) i → - ( s e n ⁡ t ) j → + 1 / 6 k →

Passo 3

Podemos agora, encontrar o produto escalar F → ⋅ d r → d t :

F → ⋅ d r → d t = t i → + c o s 2 ⁡ t j → + ( 12 s e n ⁡ t ) k → ⋅ [ ( c o s ⁡ t ) i → - ( s e n ⁡ t ) j → + 1 / 6 k → ] =   = t c o s ⁡ t - s e n ⁡ t c o s 2 ⁡ t + 2 s e n ⁡ t

Passo 4

E por fim o trabalho realizado é a integral de linha:

∫ a b   F → ⋅ d r → d t d t = ∫ 0 2 π   t c o s ⁡ t - s e n ⁡ t c o s 2 ⁡ t + 2 s e n ⁡ t d t = c o s ⁡ t + t s e n ⁡ t + 1 3 c o s 3 ⁡ t - 2 c o s ⁡ t 0 2 π = 0

Aqui vale uma observação! Caso queira resolver a integral, faça o seguinte:A integral de ∫ t c o s ⁡ t d t é resolvida por partes.Consideremos:

  d v = c o s ⁡ t d t , v = s e n ⁡ t   ∫   t c o s ⁡ t d t = u v - ∫   v d u = t s e n ⁡ t - ∫   s e n ⁡ t d t = t s e n ⁡ t + c o s ⁡ t + C

A integral ∫ s e n ⁡ t c o s 2 ⁡ t d t deve ser resolvida por substituição, como segue:

u = c o s ⁡ t d u = - s e n ⁡ t d t ∫   s e n ⁡ t c o s 2 ⁡ t d t = - ∫   u 2 d u = - 1 3 u 3

Resposta

Resposta nos passos.

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