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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 13

Encontre a carga no capacitor em um circuito em série L-R-C quando L = 1 2 henrys, R = 10 ohms, C = 0,01   f a r a d ,   E t = 150 volts, q 0 = 1 coulomb e i 0 = 0 ampére. Qual é a carga no capacitor após um longo período de tempo?

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

1 2 q ' ' + 1 0 q ' + 100 q = 150

Vamos resolver essa EDO...

Passo 2

A equação auxiliar é:

1 2 m 2 + 10 m + 100 = 0

Resolvendo, encontramos:

m 1 = - 10 + 10 i

m 2 = - 10 - 10 i

A solução geral então é:

q t = e - 10 t c 1 cos ⁡ 10 t + c 2 sen ⁡ 10 t

Passo 3

A gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Analisando o que temos do lado direito, vamos supor: q p = A :

q p ' = 0

q p ' ' = 0

Substituindo, ficamos com:

1 2 0 + 10 0 + 100 A = 150

A = 150 100 = 3 2

Então a solução é:

q ( t ) = e - 10 t c 1 cos ⁡ 10 t + c 2 sen ⁡ 10 t + 3 2

Passo 4

Agora vamos descobrir os valores c 1   e   c 2 , usando nossas condições iniciais:

q 0 = 1 coulomb e i 0 = 0 ampére

q 0 = e 0 c 1 + 3 2 = 1

c 1 = - 1 2

Temos que:

q ' 0 = - 10 e - 10 t c 1 cos ⁡ 10 t + c 2 sen ⁡ 10 t + e - 10 t - 10 c 1 sen ⁡ 10 t + 10 c 2 cos ⁡ 10 t = 0

- 10 e 0 c 1 + e 0 10 c 2 = 0

- 10 c 1 + 10 c 2 = 0

c 1 = c 2

Então temos c 1 = c 2 = - 1 2 , e aí a solução do PVI é:

q ( t ) = e - 10 t - 1 2 cos ⁡ 10 t - 1 2 sen ⁡ 10 t + 3 2

Passo 5

Para saber a carga após um longo período de tempo, temos que fazer:

lim t → ∞ ⁡ e - 10 t - 1 2 cos ⁡ 10 t - 1 2 sen ⁡ 10 t + 3 2

0 + 3 2 = 3 2

Então após um longo tempo, a carga será 3 2 coulombs.

Resposta

3 2 coulombs

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