Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 15

Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento , se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da sua distância ao vértice oposto à hipotenusa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês?

Nesse exercício precisamos encontrar o centro de massa de um triangulo retângulo isósceles que tem lados iguais de comprimento a. Sabemos também que a densidade em qualquer ponto é proporcional ao quadrado da distância do vértice à hipotenusa.

O primeiro passo é desenharmos tudo isso que acabamos de ler, e compreender nossa figura. Veja a imagem a seguir:

Observe que conseguimos escrever a densidade em função de e aplicando Pitágoras no triangulo retângulo.

Não se preocupe com a constante , no fim você vai ver que o centro de massa não depende dela. Essa constante escrevemos de forma genérica, ela pode assumir qualquer valor maior que zero, inclusive .

Sabendo dessas informações, vamos lembrar como se calcula centro de massa. Sabemos que a massa e os centro de massas , são obtidos através das seguintes fórmulas:

Onde,

Um detalhe muito importante, a região , e a área formada pelo triângulo da figura acima. Repare bem na figura, e vê se você concorda que podemos fazer as seguintes variações de intervalo de integração:

Lembre-se, sempre que temos um intervalo variando em forma de função, esse deve ser integrado primeiro.

Com esses bizu é começar a calcular! Comece determinando a massa e depois encontre o centro de massa!

Vamos nessa turma!

Passo 2

Primeiro vamos determinar nossa densidade, pois ela é crucial na determinação da massa.

Como vimos no passo , ao esboçar nossa região conseguimos achar a seguinte expressão para a densidade:

Sabendo disso, podemos calcular a massa:

Nossa região , também vimos que pode ser expressa por:

Como temos um triangulo, percebemos que no eixo ele pode variar de até , e no eixo , podemos variar de 0 até a reta que une os vértices do triangulo.

Agora, vamos substituir na integral. Ficamos com:

Passo 3

Bom, agora vamos integrar.

Assim, integrando em temos:

Aplicando os limites de integração, temos:

Agora vamos integrar em . Integrando ficamos com:

Aplicando os limites, temos que:

Assim, concluímos que a massa é:

Passo 4

Agora vamos determinar os centros de massa:

Lembrando que:

Vamos começar por . Substituindo os valores temos que:

Simplificando um pouco, temos:

Integrando em primeiro. Vamos ter:

Aplicando os limites de integração, temos:

Simplificando passo a passo, ficamos com:

Passo 5

Integrando em , temos:

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

Colocando em evidencia e simplificando com o do denominador, temos:

Logo, o centro de massa em relação a é:

Passo 6

Agora precisamos determinar o centro de massa em relação a .

O processo vai ser o mesmo que fizemos para .

Substituindo os valores em , vamos ter:

Simplificando um pouco, ficamos com:

Integrando em , vamos ter:

Aplicando os intervalos de integração, obtemos:

Passo 7

Agora, devemos integrar em . Mas antes vamos simplificar o máximo possível essa expressão. Assim:

Assim, já facilita a integral. Agora vamos separar em duas integrais:

Na primeira integral não tem segredo, é só integrar cada termos . Já na segunda, a gente não a expandiu, porque podemos aplicar uma substituição do tipo: