Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 14
Encontre o centro de massa da lâmina do Exercício se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certinho?
Galera, conforme o exercício nos descreve, a lâmina deve ser assim:
Do exercício 13, nós temos que a função densidade é:
O centro de massa é um ponto com coordenada:
E o valor dessas coordenas a gente consegue calculando as seguintes integrais duplas:
Aqui, nossa variável se refere a massa dessa lâmina, que a gente vai precisar calcular pela integral:
Então, vamos usar a descrição da lâmina para encontrar nossos limites de integração das nossas integrais, resolver a integral da massa para finalmente conseguirmos substituir nas integrais de e para calculá-las.
Como estamos lidando com regiões circulares, vamos usar coordenadas polares para facilitar nossa descrição da região de integração. Para esse sistema, temos:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos pensar nos nossos limites de integração, rapidamente retomando já que já fizemos o cálculo mais detalhado no próprio exercício 13:
- Como temos metade de circunferências:
- Como temos uma variação entre dois raios:
Então, esses serão nossos limites de integração!
Passo 3
Podemos calcular a massa então:
Substituindo nossa função densidade
Nossos limites de integração e:
Ficamos com a integral:
Como estamos lidando com a integral do produto, podemos separar como um produto de integrais, cada qual com sua variável de integração:
Integrando as duas ao mesmo tempo:
Aplicando os limites de integração, temos, por fim:
Passo 4
Agora vamos calcular , pra saber qual é o centro de massa :
onde é o momento em relação ao eixo , calculado da seguinte forma:
Em coordenadas polares, temos que . Substituindo nossos valores encontrados, temos:
Como estamos lidando com a integral do produto, podemos separar como um produto de integrais, cada qual com sua variável de integração:
Resolvendo as integrais:
Aplicando os limites de integração:
Então ficamos com:
Passo 5
Show! Agora só falta calcular , mas primeiro, vamos calcular o momento em relação ao eixo :
Em coordenadas polares, temos que Substituindo cada variável que encontramos, temos:
Como estamos lidando com a integral do produto, podemos separar como um produto de integrais, cada qual com sua variável de integração:
Resolvendo as integrais:
Aplicando os limites de integração:
Finalmente teremos:
Então, nossa coordenada do centro de massa é: