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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 17

Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao plano y de uma placa fina delimitada pelo eixo x, pelas retas x = ± 1 , e pela parábola y = x 2 se d e l t a x , y = 7 y + 1 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Pelo enunciado é nos dado que:

x ∈ ± 1

y ∈ 0 , x 2

E com isso já temos tudo p que é necessário para encontrarmos o momento de inercia e o centro de massa.

Passo 2

Para M:

M = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 7 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 7 2 y 2 0 x 2 + y 0 x 2 d x

∫ - 1 1 7 x 4 2 + x 2 d x

7 10 x 5 - 1 1 + 1 3 x 3 - 1 1

M = 31 15

Para M y :

M y = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 x 7 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 ( 7 x 2 y 2 0 x 2 + x y 0 x 2 )   d x

∫ - 1 1 7 x 5 2 + x 3 d x

Sendo todas funções impares, e nós sabemos que uma função impar integrada em um intervalo simétrico é nula. Logo

M y = 0

Para M x :

M x = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 y 7 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 7 3 y 3 0 x 2 + 1 2 y 2 0 x 2 d x

∫ - 1 1 7 x 6 3 + x 4 2 d x

7 21 x 7 - 1 1 + 1 10 x 5 - 1 1

M x = 13 15

Logo temos que:

x c . m = 0

y c . m = 13 15 31 15 = 13 31

Passo 3

Para I y :

I y = ∫ - 1 1 ∫ 0 x 2 x 2 7 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 7 x 2 2 y 2 0 x 2 + x 2 y 0 x 2 d x

∫ - 1 1 7 x 6 2 + x 4 d x

7 1 4 x 7 - 1 1 + 1 5 x 5 - 1 1

I y = 7 5

Resposta

x c . m = 0

y c . m = 13 31

I y = 7 5

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