Um sólido no primeiro octante é delimitado pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x^2 e x = y^2 (veja a figura a seguir). Sua função de densidade é δ(x, y, z) = kxy sendo k constante. Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Pela figura dada já temos tudo que é necessário, veja: x ∈ 0,2 y 0 , 2 z ∈ 0,4 - x 2 E com isso vamos em busca de M , M x z , M x y , M y z para que com isso achemos os centros de massa, sabendo que: X c e n t = M y z M Y c e n t = M x z M Z c e n t = M x y M Como exemplo, para M x y : M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y z d z d y d x Passo 2Para M: M = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y d z d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y z 0 4 - x 2 d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x 4 x y - x 3 y d y d x k ∫ 0 2 2 x y 2 0 x - x 3 2 y 2 0 x d x k ∫ 0 2 ( 2 x 2 - x 4 2 ) d x k 2 3 x 3 0 2 - 1 10 x 5 0 2 M = 32 k 15 Passo 3Para M x y : M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y z d z d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 z 2 0 4 - x 2 d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 4 - x 2 2 d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x ( x 4 - x 2 2 4 y 2 0 x ) d x k ∫ 0 2 x 2 4 - x 2 2 4 d x k 4 ∫ 0 2 x 2 16 + x 4 - 8 x 2 d x k 4 16 3 x 3 0 2 + 1 7 x 7 0 2 - 8 5 x 5 0 2 M x y = 2 8 k 105 Para M x z : M x z = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y 2 d z d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 z 0 4 - x 2 d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 4 - x 2 d y d x k ∫ 0 2 4 x 3 y 3 0 x - x 3 3 y 3 0 x d x k 3 ∫ 0 2 4 x 2 x - x 4 x d x k 3 ∫ 0 2 ( 4 x 5 2 - x 9 2 ) d x k 3 4 2 7 u 7 2 0 2 - 2 11 u 11 2 0 2 M x z = k 2 8 2 231 Para M y z : M y z = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x 2 y d z d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x y x 2 z 0 4 - x 2 d z d y d x k ∫ 0 2 ∫ 0 x y x 2 4 - x 2 d y d x k ∫ 0 2 2 x 2 y 2 0 x - x 4 y 2 0 x d x k 2 ∫ 0 2 4 x 3 - x 5 d x k 2 ( x 4 0 2 - 1 6 x 6 0 2 k 2 2 4 - 2 5 3 k 2 2 4 3 - 2 3 M y z = k 2 3 3 E como já dito anteriormente: x c e n t = M y z M y c e n t = M x z M z c e n t = M x y M Logo x c e n t = 2 3 k 3 2 5 k 15 = 5 2 2 y c e n t = k 2 8 2 231 2 5 k 15 = 2 3 15 231 E z c e n t = k 2 8 105 2 5 k 15 = 2 3 7 Resposta M = 32 k 15 x c e n t = 5 2 2 y c e n t = 2 3 15 231 z c e n t = 2 3 7 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosUtilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E x y z d V , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π 3 .Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ H 9 - x 2 - y 2 d V , onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , z ≥ 0 .Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.ρ ≤ 2, ρ ≤ cosseno(ϕ)Um sólido está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z . Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de π / 6 .Ver TambémVer tudo sobre Integrais TriplasLista de exercícios de Mudança para Coordenadas EsféricasVer exercício 15.6 - 4Ver exercício 15.6 - 17