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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 40

Encontre o centro de massa do sólido E com a dada função de densidade ρ .

E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e os planos x + z = 1 ,   x = 0   e   z = 0 ; ρ x , y , z = 4

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo numa boa?

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E que é delimitado pelo cilindro parabólico:

z = 1 - y 2

E pelos planos:

x + z = 1 ,   x = 0   e   z = 0

com função densidade

ρ x , y , z = 4

A questão pede para encontrarmos o centro de massa desse sólido E . O centro de massa está localizando no ponto ( x , - y , - z - ) , onde:

x - = M y z m

y - = M x z m

z - = M x y m

Onde m é a massa do sólido dada por:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

E M são os momentos em relação aos planos, que são calculados por:

M y z = ∭ E x   ρ x , y , z d V

M x z = ∭ E y   ρ x , y , z d V

M x y = ∭ E z ρ x , y , z d V

Percebe que também falta acharmos os limites de integração das nossas integrais triplas. Como a função que estamos integrando está em relação a 3 variáveis x , y , z , temos que achar os limites de integração para cada uma delas. Para achar esses limites vamos achar a projeção do nosso sólido no plano x y e da equação do paraboloide.

Em resumo, precisaremos achar a massa m e cada um dos momentos M , para assim acharmos a localização do centro de massa.

Vamo que vamo!

Passo 2

Vamos entender nossa região E para conseguirmos nossos limites de integração. O sólido E delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e os planos x + z = 1 ,   x = 0   e   z = 0 .

As imagens a seguir ilustram a região de interesse descrita no enunciado:

Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano x y , devido ao limite z = 0 .

Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4   d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 x x = 0 x = 1 - z d z d y = 4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 1 - z - 0 d z d y

Simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 1 - z d z d y

Passo 3

Agora iremos integrar em função de z :

4 ∫ - 1 1 z - 1 2 z 2 z = 0 z = 1 - y 2 d y = 4 ∫ - 1 1 1 - y 2 - 1 2 1 - y 2 2 - 0 d y

E, simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 1 - y 2 - 1 2 1 - 2 y 2 + y 4 d y = 2 ∫ - 1 1 1 - y 4 d y

Agora iremos integrar em relação a y :

2 y - 1 5 y 5 - 1 1 = 2 1 - 1 5 1 5 - - 1 - 1 5 - 1 5

Dessa forma, a massa é:

m = 16 5

Passo 4

Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo x :

M y z = ∫ ∫ ∫ x ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 x   d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 2 x 2 x = 0 x = 1 - z d z d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 2 1 - z 2 - 0 d z d y

Simplificando a expressão, temos:

2 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 1 - z 2 d z d y

Agora iremos integrar em função de z :

2 ∫ - 1 1 - 1 3 1 - z 3 z = 0 z = 1 - y 2 d y = 2 ∫ - 1 1 - 1 3 1 - 1 - y 2 3 - - 1 3 1 - 0 3 d y

E, simplificando a expressão, temos:

2 ∫ - 1 1 - y 6 3 + 1 3 d y = 2 3 ∫ - 1 1 1 - y 6 d y

Agora iremos integrar em relação a y :

2 3 y - 1 7 y 7 - 1 1 = 2 3 1 - 1 7 1 7 - - 1 - 1 7 - 1 7

Dessa forma, temos:

M y z = 24 21

Passo 5

Agora com relação ao eixo y :

M y z = ∫ ∫ ∫ y ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 y   d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 y x x = 0 x = 1 - z d z d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 y ( 1 - z ) - 0 d z d y

Simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 y ( 1 - z ) d z d y

Agora iremos integrar em função de z :

4 ∫ - 1 1 y 1 - 1 2 z 2 z = 0 z = 1 - y 2 d y = 4 ∫ - 1 1 y 1 - 1 2 1 - y 2 2 - y 1 - 0 2 d y

E, simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 y 1 - y 2 - 1 2 y 1 - y 2 2 d y = 2 ∫ - 1 1 ( y - y 5 ) d y

Agora iremos integrar em relação a y :

2 y 2 - 1 5 y 6 - 1 1 = 2 1 2 - 1 5 1 6 - - 1 2 - 1 5 - 1 6

Dessa forma, temos:

M y z = 0

Passo 6

Agora com relação ao eixo z :

M x y = ∫ ∫ ∫ z ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 z   d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 z x x = 0 x = 1 - z d z d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 z ( 1 - z ) - 0 d z d y

Simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 z - z 2 d z d y

Agora iremos integrar em função de z :

4 ∫ - 1 1 1 2 z 2 - 1 3 z 3 z = 0 z = 1 - y 2 d y = 4 ∫ - 1 1 1 2 1 - y 2 2 - 1 3 1 - y 2 3 - 0 d y

E, simplificando a expressão, temos:

4 ∫ - 1 1 1 6 - 1 2 y 4 + 1 3 y 6 d y

Agora iremos integrar em relação a y :

4 1 6 y - 1 10 y 5 + 1 21 y 7 - 1 1

Aplicando os limites de integração:

= 4 1 6 1 - 1 10 1 5 + 1 21 1 7 - 1 6 - 1 - 1 10 - 1 5 + 1 21 - 1 7

Dessa forma, temos:

M y z = 32 35

Passo 7

Com isso, o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Sendo assim:

x - , y - , z - = 5 14 , 0 , 2 7

Resposta

m = 16 5

x - , y - , z - = 5 14 , 0 , 2 7

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