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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 39

Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.

39. O sólido do exercício 19; ρ x , y , z = x 2 + y 2

Passo 1

Fala, gente bonita!

Olha só, precisamos dar uma olhada no exercício 19 desta seção para estalebelecer, segundo o enunciado, mas sem calcular, as expressões para a massa, do centro de massa e do momento de inércia do sólido definido por essa função aqui, ó:

ρ x , y , z = x 2 + y 2

Vamos passo a passo dar uma cotovelada na cara dessa questão 😉

Passo 2

(a) Para representar a massa, temos que a fórmula seria

m = ∭ E ρ x ,   y ,   z d V

Para achar essa região E , vamos dar uma boa olhada no exercício 19.

Temos que o sólido é limitado por um cilindro x 2 + y 2 = 9 e por planos y + z = 5 e z = 1 .

Fazendo algumas manipulações, teremos nossa região E descrita assim:

- 3 ≤ x ≤ 3

- 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2

1 ≤ z ≤ 5 - y

Vamos montar nossa integral tripla a partir do sólido e ficaremos com:

m = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 3

(b) Já o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Onde

M y z = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x x 2 + y 2 d z d y d x

M x z = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y y x 2 + y 2 d z d y d x

M x y = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y z x 2 + y 2 d z d y d x

Assim teremos

x - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x x 2 + y 2 d z d y d x

y - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y y x 2 + y 2 d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y y x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 4

Por fim, (c) o momento de inércia é dado por:

I z = ∭ E ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y ,   z d V

Como sabemos cada termo, basta substituirmos, e assim teremos

I z = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x 2 + y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Colocando a raiz como expoente, podemos unir termos e ficaremos com

I z = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x

Resposta

(a) m = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x 2 + y 2 d z d y d x

(b) x - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x x 2 + y 2 d z d y d x

y - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y y x 2 + y 2 d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y y x 2 + y 2 d z d y d x

(c) I z = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 1 5 - y x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x

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