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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 40

Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.

40. O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≥ 0 ;       ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Fala, galera! Tudo show?

Olha só, segundo o enunciado precisamos definir, mas sem calcular, as expressões para a massa, do centro de massa e do momento de inércia do sólido definido por essa função aqui, ó:

ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Definido também pelo hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≥ 0 , belê?

Então, mão na massa!

Passo 2

(a) Para representar a massa, temos que a fórmula seria

m = ∭ E ρ x ,   y ,   z d V

Com isso, para descobrir os limites de integração, vamos ficar de olho nas informações sobre o hemisfério, e assim teremos:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

- 1 ≤ x ≤ 1

Portanto, substituindo o que descobrimos ficaremos com

m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 3

(b) Já o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Onde

M y z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

M x z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

M x y = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Com isso, teremos que

x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

y - = 1 m M x z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 4

(c) Já o momento de inércia é dado por:

I z = ∭ E ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y ,   z d V

Como sabemos cada termo, basta substituirmos, e assim teremos

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Resposta

(a) m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

(b) x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

y - = 1 m M x z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

(c) I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

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